Клиначёв Николай Васильевич

Инженерная методика подготовки разностных уравнений и алгоритмов программ, реализующих дискретные передаточные функции на ЦВМ

Существует три основных алгоритма программной реализации дискретных передаточных функций (z-ПФ):

Алгоритм Требуемое быстродействие Объём памяти
Непосредственный
а) с двумя буферами
б) с одним буфером
24(m+k+1)/T
надо
9m+9k+12
уточнить
Последовательный 52k/T 20k+10
Параллельный 50k/T 19k+8

Дискретную ПФ можно представить в любой из форм:

W(z ) =

Y(z) = b0+b1z-1+...+bmz-m

- стандартная форма
для дискретных ПФ

X(z) a0+a1z-1+...+akz-k

W(z ) =

Y(z) = K 1+e2z-1 ... 1+ekz-1

- разложение z-ПФ
на множители [1]

X(z) 1+d1z-1 1+d2z-1 1+dkz-1

W(z ) =

Y(z) = P1 + P2 +...+ Pk

- разложение z-ПФ
на элементарные
дроби  [1]

X(z) 1+d1z-1 1+d2z-1 1+dkz-1

где: ei - нули z-ПФ; di - полюса z-ПФ; a0 - не равно нулю; Pi - коэффициенты разложения

Этим формам представления z-ПФ соответствуют структурные схемы изображенные на рис. 1.

Рис. 1

Разложения и делают параметры z-ПФ независимыми, позволяют контролировать ряд дополнительных фазовых координат: x1[n], x2[n], ..., xk-1[n]; или y1[n], y2[n], ..., yk[n] - что удобно при отладке систем. Последовательная структура удобна при синтезе дискретной коррекции. Параллельная структура удобна для построения цифровых регуляторов. Разложение z-ПФ на элементарные дроби позволяет реализовать z-ПФ на параллельно работающих ЦВМ для повышения быстродействия. Перечисленные факторы определяют выбор алгоритма программы для ЦВМ.

После разложений, каждый из множителей в форме или каждую из элементарных дробей в форме следует представить в стандартной форме (с отрицательными степенями оператора z). Переход к разностным уравнениям будет един. z-ПФ в форме соответствует разностное уравнение (РУ):

y[n] = [ (b0x[n]+b1x[n-1]+...+bmx[n-m]) - (a1y[n-1]+a2y[n-2]+...+aky[n-k]) ] / a0 ,

по которому и составляется программа. Поскольку текущее значение выходной координаты y[n] рассчитывается по предыдущим значениям y[n-1], y[n-2], y[n-k] - данное РУ называется рекурсивным.

Изобразим структурную схему цифрового фильтра для этого уравнения (см. рис. 2). Ее можно преобразовать, объединив два буфера (см. рис. 3). Цепочки элементов z-1 в программах будут соответствовать буферам из ячеек памяти, данные в которых сдвигаются на каждом такте дискретизации. Обе структурные схемы можно составить из простейших блоков программы VisSim.

Структурная схема рекурсивного цифрового фильтара

Структурной схеме соответствует алгоритм а.
Условие физической реализуемости - а0 не равно нулю
Рис. 2

Альтернативная структурная схема рекурсивного цифрового фильтара

Структурной схеме соответствует алгоритм б.
Условие физической реализуемости - а0 не равно нулю
Рис. 3

Если выбран последовательный или параллельный алгоритм, то структура каждого множителя или элементарной дроби первого порядка (см. рис. 1) будет иметь более простой вид (см. рис. 4).

Структурные схемы цифровых фильтров первого порядка

Рис. 4

С текстом программы на языках C++ и Pascal, реализующей z-ПФ второго порядка в соответствии с непосредственным алгоритмом вы можете ознакомиться, изучив пример проектирования дискретного ПИД-регулятора.

Литература

  1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. - М.: Наука,1986.
  2. Оппенгейм Э., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов/ Пер. с англ./ Под ред. С. Я. Шаца. - М.: Связь, 1979. - 416 с.
  3. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование/ Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1983. - 320 с.

10.02.2001