Системы с запаздыванием

Система линейная с запаздыванием
Линейной системой с запаздыванием называется такая, которая содержит в своей структуре хотябы одно звено, в котором есть неизменное запаздывание во времени t изменения выходной координаты после начала изменения входной.

Переходная характеристика апериодического звена первого порядка с элементом чистого запаздыванияРассмотрим апериодическое звено первого порядка, которое описывается уравнением:

(1)

T dy/dt + y = K x(t) .

Уравнение соответствующего звена с запаздыванием t будет иметь вид:

(2)

T dy/dt + y = K x(t-t) .

Оно называется дифференциально-разностным.

Обозначим x*(t) = x(t-t), тогда уравнение (2) запишется в обыкновенном виде:

(3)

T dy/dt + y = K x*(t) .

Следовательно его переходная характеристика соответствует апериодическому звену (рис. 1в), но задержана на t с, что определено задержкой воздействия x*(t) (рис. 1б).

Резюме:

Пример системы с транспортным запаздыванием

Рабочие файлы: [e^(-st)_tc.vsm]

Примеры систем с транспортным запаздыванием

ПФ звена чистого запаздывания

Блочное обозначение звена чистого запаздыванияСвойства звена таковы, что y(t) = x(t-t), где t - запаздывание, а x(t-t) = 0 при 0 < t < t.

Разложим правую часть уравнения (т.е. выходной сигнал) в ряд Тейлора:

Разложение запазывающего сигнала в ряд Тейлора,

или

Изображение запаздывающего сигнала,

т.е.:

Передаточная функция звена чистого запазывания.

Аппроксимация звена чистого запаздывания

Рабочие файлы: [Аппроксиматоры]

i1.gif (913 bytes) Сравним переходные функции апериодического звена с запаздывающим аргументом и апериодического звена 2-ого порядка:

Переходные функции апериодического звена с запаздывающим аргументом и апериодического звена 2-ого порядка

Поскольку они существенно похожи, в приближенных расчетах можно осуществлять подмены передаточных функций звеньев.

 В некоторых случаях применяется прием учета большого числа N звеньев в системе с малыми постоянными времени DTi и единичным коэффициентом передачи, одним звеном с постоянным запаздыванием, равным сумме этих постоянных времени t = SDTi » NЧDT. Т.е.:

... ?

Если N®Ґ, то в пределе получим W(s)»e-ts. Уже при N=8..10 степень приближения высока. Ряд будет более точно соответствовать разложению в ряд функции e-ts, если его представлять не апериодическими, а фазосдвигающими звеньями.

Размыкание систем с запаздыванием

Большинство методов исследования устойчивости или качества систем в качестве входной информации используют ПФ системы для разомкнутого состояния W(s). Звено чистого запаздывания является нелинейным элементом, и затрудняет как аналитический анализ систем, так и машинный (программы математического моделирования не могут выполнять функции анализа для систем с нелинейными элементами). Поэтому либо используют линеаризованные аппроксиматоры звена чистого запаздывания, либо размыкают систему в той ветви, которая содержит звено чистого запаздывания, дабы ПФ имела вид: W(s) = Wo(sґ e-ts, где Wo(s) - ПФ части системы без запаздывания.

Рассмотрим и разомкнем системы с основными вариантами включения звена чистого запаздывания - последовательным, параллельным и в цепи ОС:

Преобразование структурной схемы системы при последовательном включении звеньев чистого запаздывания в контуре

Преобразование структурной схемы системы при параллельном включении звена чистого запаздывания

Преобразование структурной схемы системы при включении звена чистого запаздывания цепи локальной ОС

Если звенья чистого запаздывания имеются в разных ветвях структурной схемы, то для исследований используют их аппроксиматоры и машинные методы анализа.

Частотные свойства систем с запаздыванием. Понятие о критическом запаздывании

Перейдем в частотный домен:

 ,

следовательно:
 

L(w) = |W(jw)| = Ao(w) ґ 1 = Ao(w) ,
j(w) = jo(w) - wt .

Закручивание АФХ звеном чистого запаздыванияРезюме:

Устойчивость систем с запаздыванием

Рассмотрим замкнутую систему:

АФХ и годограф Михайлова системы со звеном чистого запаздывания

По знаменателю ПФ F(jw) видно, что в общем случае характеристическое уравнение будет иметь множитель e-ts, который определяет возможность наличия бесконечного количества корней (см. петли годографа Михайлова D(jw) ).

Как и прежде, для устойчивости все они должны иметь отрицательные вещественные части.

Об исследовании точности систем с запаздыванием

Частотные характеристики звена чистого запаздыванияПо ЧХ звена чистого запаздывания наглядно видно, что его коэффициент передачи во всем частотном диапазоне равен единице. Причем в области низких частот и задержка в звене пренебрежимо мала (т.е. сдвиг фазы стремится к нулю), поэтому при исследовании точности систем с запаздыванием допустимо просто исключить все звенья чистого запаздывания из структурной схемы. Эта операция допустима, поскольку точность любой системы определяет только НЧ часть ее ЧХ.