Системы с переменными параметрами

Система линейная с переменными параметрами
Линейной системой с переменными (var) параметрами называется такая, движение которой описывается ДУ с переменными во времени коэффициентами:
где воздействие f может быть и задающим - g(t).

Те. ПФ подобной системы параметрическая, например:

W(s, t ) =

Y(s, t) = K(t)...
X(s, t) (1+T1s)(1+T2(t)s)...

где: K(t), T2(t) - зависящие от времени функции.

Пример параметрической САР

Понятие о параметрической функции веса. Нахождение реакции параметрической САР на произвольное воздействие

Рабочие файлы: [Интеграл Дюамеля] [Интеграл свертки]
[Интеграл свертки]

Очевидно, что реакции САР с var-параметрами на стандартные возмущения 1(t) и d(t) будут зависеть от момента времени поступления сигналов. В связи с этим функцию веса можно изобразить в виде поверхности:

Сопряженная весовая функция и ее реверс-смещениеРазличают:

Заметим, что в системах с постоянными параметрами рельеф функций веса цилиндрический и нормальная функция веса совпадает с сопряженной (с реверс-смещением).
Если на систему, со свойственной ей функцией веса w(t-J, J), действует входной сигнал f(t), то элементарная реакция на выходе системы в произвольный момент времени t=J будет:

dy = w(t-J, J) f(J) dJ .

Полный сигнал определяется как суперпозиция элементарных реакций:

y = ot т w(t-J, J) f(J) dJ .

А если использовать реверс смещение q = t-J (t=const):

y = ot т w(q, t-q) f(t-q) dq ,

то получим интеграл свертки для квазистационарных систем.

Найти функцию веса для систем первого и второго порядков можно аналитически. Для систем высших порядков существуют численные методы.

Отыскание ПФ системы с var-параметрами

ПФ системы с переменными параметрами можно определить либо по функциям веса:

W(s, t) = -Ґt т w(t-J, J) e-(t-J)s dJ = o+Ґ т w(q, t-q) e-qs dq ,

либо по переходной функции h(t-J, J):

W(s, t) = s -Ґt т h(t-J, J) e-(t-J)s dJ = s o+Ґ т h(q, t-q) e-qs dq ,

но этот подход нерационален, т.к. требует знания типовых реакций системы h и w.

Более удобно находить ПФ W(st) из исходного ДУ с var-параметрами:

A(s, t) W(s, t) + N{W(s, t)} = B(s, t) ,

где:   
 

A(s, t) = a0(t)sn+...+an(t) ;      B(s, t) = b0(t)sm+...+bm(t) ;
N{W(s, t)} =[ dA/ds dW/dt + ... + 1/n! dnA/dsn dnW/dtn ] .

Решение ДУ, т.е. ПФ W(st) будем искать в виде ряда:

W(s, t) = W0(s, t) + W1(s, t) + ...

где:    W0(s, t) = B(s, t) / A(s, t);   Wk(s, t) = N{Wk-1(s, t)} / A(s, t) .

Устойчивость и качество регулирования систем с var-параметрами

Поскольку в квазистационарных САР параметры меняются много медленней свободного движения системы, параметрическую САР считают устойчивой, если при всех "замороженных" комбинациях параметров она остается устойчивой.

Т.е. в параметрической ПФ W(st) фиксируют время t в диапазоне 0 < t < T и многократно исследуют на устойчивость, используя любой из критериев. Максимальное внимание надо уделить временным интервалам, где параметры меняются быстро или происходит смена знака. Особенно эффективно использование корневого годографа, зависимого от var-параметра, для оценки тенденций в системе.

При оценке качества регулирования следует учитывать, что коэффициенты ошибок получаются зависимыми от времени: Ck = [dkFx(st) / dsk], при s=0.

Изменение параметров можно рассматривать как возмущающее воздействие на систему. Соответственно составляющие ошибки от var-параметра не будут сводиться к нулю, за исключением случая, когда содержащее var-параметр звено установлено в цепи ОС или в прямом канале до интегрирующих элементов. Поскольку динамика изменения var-параметров в сравнении с динамикой задающего воздействия g(t) не значительна в случае квазистационарных систем, то соответствующие составляющие ошибок: по скорости, ускорению, ... - как правило, меньше.

Синтез параметрических САР

При синтезе САР на ЭВМ так же используют "замораживание" коэффициентов, и, если во всем рабочем интервале времени качество САР оказывается приемлемым, ее считают работоспособной.

Во многих случаях удается выделить одно звено первого или второго порядков с var-параметром. Тогда возможно осуществить синтез САР расчетным путем.

Диапазоны и зоны измения параметров

При синтезе следует стремиться максимально точно определить законы изменения параметров и не ограничиваться диапазонами. Так для случая 2 изменений var-параметров, согласно "D"-разбиению вероятность сохранения устойчивости существенно больше.