Синтез САР

Синтез системы
Направленный расчет, имеющий конечной целью отыскание: 1) рациональной структуры системы и 2) установление оптимальных величин параметров отдельных звеньев.

При множестве возможных решений, должен быть выбран критерий оптимизации - цена, точность, надежность, быстродействие, затраты энергии ...

При инженерном синтезе ставятся задачи:

  1. Достижение требуемой точности.
  2. Обеспечение приемлемого характера переходных процессов (задача демпфирования).

Метод логарифмических амплитудных характеристик

Процесс синтеза включает в себя следующие операции:

  1. Построение располагаемой ЛАЧХ исходной системы Wo, состоящей из регулируемого объекта без регулятора и без корректирующего устройства.
  2. Построение НЧ части желаемой ЛАЧХ на основе предъявленных требований точности.
  3. Определение вида и параметров регулятора K, Ki, ...:
    Wрег(s) = WНЧ.ж.(s) / Wo(s);

    Lрег(w) = LНЧ.ж.(w) - Lo(w ) .

  4. Уточнение ВЧ части желаемой ЛАЧХ на основе требований к запасу устойчивости - LНЧ&ВЧ.ж.(w).
  5. Определение вида и параметров последовательного корректирующего устройства:
    WПЗ кор = WНЧ&ВЧ.ж. / [Wрег Wo]; LПЗ кор = LНЧ&ВЧ.ж. - Lрег - Lo .
  6. Техническая реализация корректирующих устройств. В случае необходимости - перерасчет на эквивалентные параллельное звено или ОС.
  7. Поверочный расчет и построение переходного процесса.

Требования к НЧ части желаемой ЛАЧХ

 Оценка точности САР по воспроизведению гармонического сигнала

Если: g(t) = Gmsin(wkt), то амплитуда Xm = |Fx(jwk)| Gm = Gm / |1+W(jwk)|.

Поскольку Xm должна быть << Gm, то W(jwk) >> 1, следовательно Xm » Gm / |W(jwk)|.

Те, чтобы система воспроизводила сигнал с ошибкой, непревышающей Xm, ЛАЧХ системы должна проходить не ниже контрольной точки Ak с координатами: w = wk, L(wk) = 20lg |W(jwk)| = 20lg Gm/Xm.

 Формирование запретной НЧ области для желаемой ЛАЧХ

Способ №1

Дано:   
 
 

Xm - максимальная амплитуда ошибки;
Vm - максимальная скорость слежения;
Em - максимальное ускорение слежения.

Найдем связывающие отношения между амплитудой, скоростью и ускорением синусоидального сигнала:

g(t) = Gmsin(wkt)
g'(t) = Gmwkcos(wkt)
g''(t) = -Gmwk2sin(wkt)
=> Vm = Gmwk
Em = Gmwk2
=>

wk = Em / Vm
Gm = Vm2 / Em

Запретная НЧ область для системы, удовлетворяющей требованиям точностиЗапретная область соответствует ЛАЧХ вида 1-2, т.е. системе с астатизмом 1-ого порядка добротности которой:

Способ №2

Дано:   
 
 

wk - контрольная частота;
Dj - фазовая ошибка слежения;
d - относительная амплитудная составляющая ошибки.

Приближенная передаточная функция систем с астатизмом первого порядка - определяет вид запретной области (Kv и T1 - неизвестны).

Построим векторную диаграмму гармонических координат системы:

Общий вид векторной диаграммы для САР, координаты которой меняются по синусоидальному закону

где:

;

Построение НЧ части желаемой ЛАЧХ

Построение желаемой ЛАЧХ для системы с астатизмом второго порядка В следящих системах с астатизмом 2-ого порядка, положение первой низкочастотной асимптоты всегда однозначно. Настройкой параметров регулятора (K, Ki1, Ki2) ее нужно подстроить по правой границе запретной области для НЧ.

 В системах с астатизмом первого порядка надо определить положение 2-х асимптот. Возможные варианты определены положением постоянной времени объекта T1, относительно контрольной частоты:

  1. Ke > Ke треб, но: затруднено демпфирование и увеличиваются ВЧ шум.
  2. Kv > Kv треб, но: увеличиваются НЧ шум.
  3. Истинная ЛАЧХ должна быть поднята на 3 дБ, для компенсации ослабления в 1,4142 раза в зоне частоты сопряжения.

Требования к ВЧ части желаемой ЛАЧХ

Методика переноса линий показателя колебательности M на ЛФЧХФормировать ВЧ участок ЛАЧХ удобно при использовании показателя колебательности M, линии уровня которого, при скольжении вектора A, с фазой j по окружностям M, можно нанести на ЛФЧХ.

В качестве типовых в НЧ части используются ЛАЧХ с наклоном не более -40 дБ/дек, которому соответствует нулевой запас по фазе, поэтому необходимо в области частоты среза формировать участок с наклоном -20 дБ/дек, т.е. сводить типовые ЛАЧХ к одному из 2-х видов:

Запретные зоны для ЛАЧХ & ЛФЧХ вида 2-1-2Запретные зоны для ЛАЧХ & ЛФЧХ вида 1-2

1-2-1-2-3
0-1-2-1-2-4   
...
1-2-3
0-1-2-3-4
...

Запретные зоны на ЛАЧХ определяют:

Если выше частоты среза имеется пик от колебательного звена, то его амплитуда не должна приблизиться к окружности с заданной колебательностью M, т.е. не должна достичь уровня на ЛАЧХ 20lg M/(M+1); а постоянная времени, при определении h, должна войти в сумму как 2zT.

Построение ВЧ части желаемой ЛАЧХ

Исходные данные: w0 и T1 - определены при построении НЧ части желаемой ЛАЧХ.

 Для систем с астатизмом 2-ого порядка:

 Для систем с астатизмом 1-ого порядка проверяют возможность сведения желаемой ЛАЧХ к виду 1-2 или модификациям, путем уменьшения постоянных времени до значения:

, где (M<1,3).

Если это невозможно, то формируют участок -20 дБ/дек аналогично методике для систем с астатизмом 2-ого порядка.

Корневой метод синтеза

Метод позволяет получить приемлемые динамические качества, при заданной структуре САР и заданном значении коэффициента усиления (последний член характеристического уравнения).

Пусть имеется ХУ:

(1)

sn+A1sn-1+...+An = 0.

Сумма модулей вещественных частей всех корней равна коэффициенту A1. При заданной его величине быстродействие будет максимальным, если вещественные части корней равны. Но это не достижимо - система будет не устойчивой. Например, для САР состоящей из 3-х апериодических звеньев выполнение условия эквивалентно равенству постоянных времени...

Реально всегда можно выделить 2 или 3 корня, с наименьшей по модулю вещественной частью, которые определяют вид переходного процесса. Положим их 2 и они комплексные. Перепишем ХУ:

(2)

(sn-2+C1sn-3+...+Cn-3) (s2+B1s+B2) = 0.

Достаточно рассматривать только 2-ой сомножитель, поскольку им определен вид переходного процесса:

Оптимальное соотношение между B1 и B2 может быть получено из условия затухания за один период z, выбор которого определяет отношение вещественной части корней к мнимой:

m = b/a = 2p / ln(1/(1-z)),   где: a = - B1/2;  b = (B2-B12/4)1/2.

Если принять, что вид переходного процесса определяют три корня, то следует воспользоваться уравнением 3-ей степени:

(3)

(...) (s3+B1s2+B2s1+B3) = 0,

которое нужно представить в виде:

(s+C11) (s2+B11s+B22) = 0.

Вещественные части корней будут равны a1 = a2,3 = - B1/3. Требования к B11 и B22 уже сформулированы, а связи с (3) определены равенствами:

B1=C11+B11,   B2=B22+B11C11,   B3=C11B22.

Выбор порядка уравнения для описания основной составляющей переходного процесса (2) или (3) зависит от структурной схемы САР.

Метод корневых годографов

Рабочие файлы: [root_locus.vsm]

Метод позволяет подобрать параметры системы по оценке их влияния на общую картину расположения корней замкнутой САР.

Если ПФ замкнутой САР:

    где: m < n,

то полюсы и нули (корни) всегда можно вычислить и нанести на комплексную плоскость. Если менять один из параметров системы, (K, ..., Ti, ..., z), то изменения в ПФ F(s) приведут к смещению корней - движению по траекториям, совокупность которых называется корневым годографом. Если менять один параметр, при дискретных значениях другого, то можно оптимально выбрать значения уже 2-х параметров, оценивая семейство корневых годографов. При выборе допустимо пользоваться любой из корневых оценок качества: m, h, W0. Наиболее эффективен метод при выборе K.

Рассмотрим идею построения траекторий корней. ПФ разомкнутой системы и ХУ запишем в виде:

(*)

,

здесь s - не оператор Лапласа или дифференцирования, а любая точка на одной из возможных траекторий корней, которые мы хотим построить варьируя K !!!

Если корни - полюсы и нули известны (q1oq2o, ..., qmo; q1xq2x, ..., qnx), то операторную часть ПФ - G1(s) можно представить в виде:

где: ;    n>m.

Представим сомножители (s - qi) векторами:

.

Теперь вновь запишем ХУ:

.

При изменении K от 0 до бесконечности уравнения (1) и (2) определяют правила движения корней:

  1. Если K=0, то корни ХУ (*) совпадают с полюсами W(s), т.к. G(s) должна стремится к бесконечности.
  2. Если K®Ґ, то часть корней ХУ (*) совпадают с нулями W(s), а часть уходит в бесконечность, т.к. G(s)®0 как при совпадении s с нулями, так и при s®Ґ. Наклон асимптот для уходящих в бесконечность корней можно рассчитать по формуле:

(p+2ip) / (n-m),   где: i=1,2, ..., n-m.