Оценка качества регулирования

Качество любой системы регулирования определяется величиной ошибки:

x(t) = g(t) - y(t) = Fx(p) g(t)

Но функцию ошибки x(t) для любого момента времени трудно определить, поскольку она описывается с помощью ДУ системы - Fx(p) - высокого порядка, и зависит от большого количества параметров системы. Поэтому оценивают качество САР по некоторым ее свойствам, определяют которые с помощью критериев качества.

Критериев качества регулирования много. Их разделяют на 4 группы:

  1. Критерии точности - используют величину ошибки в различных типовых режимах.
  2. Критерии величины запаса устойчивости - оценивают удаленность САР от границы устойчивости.
  3. Критерии быстродействия - оценивают быстроту реагирования САР на появление задающего и возмущающего воздействий.
  4. Интегральные критерии - оценивают обобщенные свойства САР: точность, запас устойчивости, быстродействие.

Существует два основных подхода к оценке качества:

  1. Первый использует информацию о временных параметрах системы: h(t), w(t); расположение полюсов и нулей ПФ замкнутой системы F(s).
  2. Второй использует информацию о некоторых частотных свойствах системы: полоса пропускания; относительная высота резонансного пика; и т.д.

Точность в типовых режимах

Рабочие файлы: [ok_ast.vsm]

Для оценки точности используется величина ошибки в различных типовых режимах. Типовые режимы движения состоят в подаче на вход сигналов с нормированными метрологическими характеристиками. Различают типовые режимы:

  1. Ненулевое, неподвижное состояние.
  2. Движение с постоянной скоростью.
  3. Движение с постоянным ускорением.
  4. Движение по гармоническому закону.

Сигналы задания для типовых режимов движения, их модели и изображения по Карсону-Хевисайду

Сигналы задания для типовых режимов движения

На рис. показаны режимы: ненулевого, неподвижного положения координаты; движение с постоянной скоростью; движение с постоянным ускорением. Легко понять, что перемещение координаты с постоянной скоростью легко получить интегрированием постоянного сигнала, а для получения координаты движущейся с постоянным ускорением необходимо интегрировать координату перемещающуюся с постоянной скоростью. Заменив операцию интегрирования оператором, получим изображения по Карсону-Хевисайду.

Ошибки статической системы

Здесь и далее будем рассматривать установившиеся составляющие ошибки системы в типовых режимах движения. Для чего будем анализировать уравнение ошибки:

,

где: g0+v/s+e/s2 - изображение представленного рядом Тейлора входного сигнала; s®0 соответствует установившемуся режиму.

Итак, если ПФ САР W(s) статическая, т.е. в области низких частот W(s)|s®0®K. Тогда первая составляющая ошибки:

,

т.е. в статической системе ошибка, вызванная заданием равным константе, так же константа, но меньшая в 1+K раз, а ошибки от заданий меняющихся с постоянными скоростью или ускорением нарастают до бесконечности.

Ошибки системы с астатизмом первого порядка

Если ПФ САР W(s) обладает астатизмом первого порядка, т.е. в области низких частот W(s)|s®0®Kv/s. Тогда первая составляющая ошибки:

,

т.е. в астатической системе первого порядка ошибка от задания равного константе равна нулю, ошибка от задания меняющегося с постоянной скоростью равна xv=v/Kv, а ошибка от задания меняющегося с постоянным ускорением нарастает до бесконечности.

Ошибки системы с астатизмом второго порядка

Если ПФ САР W(s) обладает астатизмом второго порядка, т.е. в области низких частот W(s)|s®0®Ke/s2. Тогда первая составляющая ошибки:

,

т.е. в астатической системе второго порядка ошибки от заданий равного константе и изменяющегося с постоянной скоростью равны нулю, а ошибка от задания меняющегося с постоянным ускорением равна константе xe=e/Ke.

Качество САР с астатизмом принято характеризовать величинами, называемыми добротностью по скорости и ускорению:

.

О компенсации помех в астатических системах

Астатическая система под воздействием помех

Рассмотрим вторую составляющую ошибки x''уст от возмущающих воздействий fko. Если САР астатическая, то W(s)|s®0®Ґ, но возможен случай, когда Wfk(s)|s®0®Ґ. Т.е. при любой степени астатизма САР x''уст может быть отличной от нуля.

.

Резюме:

  1. Для подавления ошибки от возмущения необходимо, чтобы интегрирующий элемент был включен в контур до места приложения возмущения.
  2. Если рассматривать ошибку чувствительного элемента (сумматора) как возмущение, то, очевидно, что повышение степени астатизма не позволяет устранить ее.

Ошибка при движении по гармоническому закону g(t)=Gmsin(wkt)

Рассмотрим только первую составляющую ошибки:

x'уст = g(t) / [1+W (s)] = Xmsin(wkt+j)

где: g(t) - синусоида; [1+W (s)] - комплексное число.

Следовательно:

(1)

Xm = Gm / |1+W (jwk)| » Gm / A(wk).

Резюме:

  1. Формула (1) позволяет идентифицировать положение неизвестной ЛАЧХ на данной частоте по амплитуде ошибки или сформулировать требования к ЛАЧХ при синтезе системы.
  2. Особые точки ЛАЧХ определены комплексными сопряженными корнями. Поведение системы при данных частотах (wk=|jbk|) требует дополнительного исследования.
  3. Особенность движения системы при гармоническом сигнале задания - это смена знака координат, которое во многих системах может сопровождаться нелинейными искажениями типа "ступенька" или сменой направления сил сухого трения.

Коэффициенты ошибок

Рабочие файлы: [c1c2c3.vsm] [c1c2c3_is.vsm]

Пусть известна ПФ по ошибке Fx(s), тогда:

X(s) = Fx(s) G(s) = 1/(1+W(s)) G(s)

где: G(s) - изображение функции g(t).

Разложим Fx(s) в ряд Тейлора:

(2)

X(s) = [c0 + c1s/1! + c2s2/2! + c3s3/3! + ...] G(s) ;

перейдем к оригиналу:

x(t) = c0g(t) + c1g'(t)/1! + c2g''(t)/2! + c3g'''(t)/3! + ...

Величины c0c1c2, ..., cm - называют коэффициентами ошибок. Их можно определять двумя способами:

  1. c0 = Fx(s)|s®0, cm = [dmFx(s)/dsm]|s®0
  2. Делением числителя Fx(s) на знаменатель и сравнением с рядом (2).

Примечания:

  1. Коэффициенты ряда (2) непосредственно связанны с коэффициентом усиления САР, добротностями Kv, Ke, ...
    Система \ Ошибки K & c0 Kv & c1 Ke & c2
    W(s)=1/s0 * ... K & 1/1+K 0 & ... 0 & ...
    W(s)=1/s1 * ... Ґ & 0 Kv & 1!/Kv 0 & ...
    W(s)=1/s2 * ... Ґ & 0 Ґ & 0 Ke & 2!/Ke
  2. САР астатическая сигналу задания g(t) может быть статической для f (t), поэтому равенство нулю коэффициентов c0c1c2, ... для сигнала g(t) не обязательно означает равенство нулю коэффициентов c0c1c2, ... для сигнала f (t).
  3. Ограничение количества членов ряда (2) и предположение о постоянстве коэффициентов ошибок c0c1c2, ... определяет применение метода для плавно меняющихся сигналов g(t) и f (t), когда переходная составляющая в движении системы успевает затухнуть.

Оценка запаса устойчивости и быстродействия по переходной характеристике

Оценка запаса устойчивости и быстродействия по переходной характеристике

 Запас устойчивости САР оценивают по величине перерегулирования:

s = (ymax - yҐ) / yҐ100, [%]

Варианты s

0 % 10..30 % 50..70 %
Применяемость редко часто избегают
Запас по фазе 90° 60°..30° 30°..10°
Число колебаний 0 1, 2 3, 4, ...

 Быстродействие САР оценивают по времени окончания переходного процесса tп, при заданной допустимой ошибке (трубке):

D О 5; 2,5; 1,5; 1; 0,5; ... [%] от yҐ , - установлено ГОСТ-ами.

 Частоту единичного усиления разомкнутой системы wср можно оценить по частоте колебаний переходной функции.

Область допустимых значений регулируемой величиныПримечание: При синтезе САР используют область допустимых отклонений регулируемой величины.

Время нарастания ограничено:

На рис. tз - максимальное допустимое время запаздывания (распространения) сигнала.

Корневые методы оценки качества

Поскольку корни ПФ однозначно определяют вид переходного процесса, их можно использовать для оценки: 1) запаса устойчивости и, 2) быстродействия.

Примечание: Обычно обходятся исследованием только полюсов ПФ F(s), т.е. корней характеристического уравнения 1+W(s)=0.

 Система будет склонна к колебаниям, если имеются комплексные корни вида -a±jb. Оценить эту склонность можно используя показатель запаса устойчивости - колебательность:

m = b/a, 0 < m < Ґ

где: a - коэффициент затухания; b - круговая частота колебаний.

Колебательность определяет другой показатель - затухание амплитуды колебаний x(t) = Ce -a t sin(bt+j) за период:Допустимая область расположения корней системы, удовлетворяющей заданному показателю колебательности или затуханию за период

Связь между показателями: затуханим за период и колебательностью.

Задание определенной колебательности заставляет ограничить область расположения корней.

Колебательность системы m можно найти используя подстановку s = z e j(90-j), что соответствует повороту осей плоскости корней на угол (90-j). Далее, используя любой критей устойчивости, подбирают угол j, при котором система будет находиться на границе устойчивости. И тогда: m = tg j = b/a.

 Для оценки быстродействия может использоваться понятие степени быстродействия h - это абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня. Т.е. если этот корень -a±jb, то h равна коэффициенту затухания a.

И действительно, составляющая в переходном процессе xh(t) = Che -htsin(bt+j), затухает тем медленней, чем меньше h. Если в конце переходного процесса амплитуда колебаний равна DCh, то веремя переходного процесса:Допустимая область расположения корней системы, дополнительно удовлетворяющей заданному показателю степени быстродействия

.

Задание определенной степени быстродействия заставляет ограничить область расположения корней.

Степень быстродействия h можно найти используя постановку s = z - hvar, что соответствует смещению корней на величину hvar. Далее, используя любой критерий устойчивости, подбирают значение hvar, при котором система будет на границе устойчивости. И тогда: h=hvar.

Понятие о среднегеометрическом корне W0. Мажоранта и миноранта переходной функции

Пусть имеем характеристическое уравнение:

a0 s n + a1 s n-1 + ... + an-1 s + an = 0 .

Приведем его к нормированному виду (разделим на an и выполним подстановку):

q n + a1/an (W0 q) n-1 + ... + ak/an (W0 q) n-k +...+ 1 = 0 ,

где: Среднегеометрический корень - среднегеометрический корень.

Влияние величины среднегеометрического корня на радиальное смещение корнейДля статических САР an = 1 + K, для астатических an = K, a0 = T1 T2 ... Tn; следовательно увеличивая K можно увеличить W0. На основании теоремы подобия увеличение W0 вызовет пропорциональное радиальное смещение корней. Т.е. вид переходного процесса меняться не будет, но будет меняться его временной масштаб. Поэтому среднегеометрический корень W0 является мерой быстродействия.

Для приведенного уравнения время будет безразмерным t = W0 t, переходная функция h(t) в случае кратных вещественных корней или одной пары комплексных будет ограничена минорантой и мажорантой:

Мажоранты и миноранты переходных функций h(t) дла кратных вещественных корней1-u(h, t) < h(t) < 1+u(h, t) ,

где: u(h, t) = e -ht [1 + (ht)1/1! + (ht)2/2! + ... + (ht)n-1/(n-1)! ] - разложение в ряд Тейлора огибающей той составляющей в пререходном процессе, корень которой ближе к оси "+j".

На рис. демонстрируется, что любой переходный процесс в любой системе будет затухать тем медленней, чем больше корней вблизи оси "+j".

Интегральные оценки качества

Рабочие файлы: [ok_absx_s.vsm]

Интегральные оценки дают обобщенную оценку быстроты затухания и величины отклонения регулируемой величины, в виде единого числового значения.

Находят применение первые три ИТ-оценки из перечисленных в списке:

  1. I1 и I2 - линейные ИТ-оценки (не чувствительны к высшим производным координат САР).
  2. I и I' - квадратичные ИТ-оценки (первая не чувствительна к высшим производным координат САР; вторая – к неподвижному режиму).
  3. I+T12I' - улучшенная квадратичная ИТ-оценка (чувствительна к постоянной и к скоростной составляющим в движении координат САР).
  4. I+T12I'+T24I''+... - ИТ-оценки более высоких порядков (чувствительны к постоянной составляющей в движении координат САР, к их скорости, к ускорению, ...).

 Пусть имеем переходные функции h(t).

Рассмотрим линейные ИТ-оценки:

Линейные интегральные оценки.

Очевидно, что чем меньше значение оценки I1 или I2, тем лучше переходный процесс, но:

  1. Оценка I1 не может применяться к колебательному переходному процессу.
  2. Аналитическое вычисление оценки I2 по коэффициентам уравнения ошибки затруднено.
  3. Одно значение оценки I2 может соответствовать переходным процессам с разной колебательностью (если совпадают мажоранты и миноранты).

 Ограничения "a" и "b" для оценок I1 и I2 преодолеваются квадратичными ИТ-оценками I и I' :

Квадратичные интегральные оценки.

Заметим, что оценку I' можно получить нахождением оценки I, если подать на вход САР не ступенчатую 1(t), а дельта функцию d(t)=1'(t). Применение оценки I' ограничено тем, что она не чувствительна к установившемуся значению ошибки xҐ.

 Ограничение "c" и другие ограничения оценок I1, I2, I и I' снимаются улучшенной квадратичной ИТ-оценкой:

Улучщенная квадратичная интегральная оценка,

где: x0 - начальное значение отклонения в переходном процессе; I+T12I' – не формула, а составной символ обозначения данной ИТ-оценки.

Очевидно, что I+T12I' будет минимальна при T1x'+x = (T1p+1)x = 0. Решение этого ДУ есть экспонента: , а .

Т.е. улучшенная квадратичная ИТ-оценка I+T12I' будет иметь минимум при приближении переходной функции к экспоненте с заданной постоянной времени T1.

 Можно использовать улучшенные ИТ-оценки более высоких порядков. Например:

Улучщенная квадратичная интегральная оценка второго порядка.

Здесь оценка будет иметь минимум, только при перемещениях координат САР с определенными скоростью и ускорением, которые задаются постоянными времени T1 и T2 соответственно. Идея другого способа выбора параметров оценки заключена в том, что коэффициенты ДУ второго порядка можно выразить в виде затухания z и резонансной частоты q, которыми должна обладать настраиваемая САР.

Аналитический расчет квадратичных ИТ-оценок

Для аналитического расчета можно воспользоваться теоремой Парсеваля:

.

Если ошибка x(t) = yҐ - y(t), то ее изображение:

Надо сделать проще - здесь сразу записать Фx (jw) и не мучиться.

Для нахождения I и I' мы должны подавать сигналы 1(t) и 1'(t). Их изображения Фурье соответственно равны:

.

Тогда установившиеся значения выходной координаты и, соответственно, значения ПФ для этих режимов:

yҐ = 1, F(0) = 1        и       yҐ = 0, F(0) = 0.

В итоге изображения ошибок:

А квадратичные ИТ-оценки:

.

Частотные критерии качества

Частотные критерии качества применяют, когда известны или можно определить экспериментально частотные свойства САР (АФХ, АЧХ, ЛАЧХ & ЛФЧХ). Вид переходного процесса при этом не рассматривается.

Оценить частотными критериями можно:

  1. Запас устойчивости (b; m1; M)
  2. Быстродействие САР (wр; wср; wп; wэк).

Оценка запаса устойчивости

Запретная область для АФХ на основе запасов устойчивости по амплитуде и фазе

По виду АФХ разомкнутой системы оценивают запас устойчивости:

где: j1 - запаздывание по фазе на частоте единичного усиления при |W(jw)|=A(w)=1 или L(w)=0 (по ЛАЧХ).

Для абсолютно устойчивых систем (n<3) имеет смысл только величина L1, т.к. L2®Ґ. Для хорошо демпфированных систем bО[2...10), т.е. [6...20) дБ.

Запас устойчивости тем больше, чем больше b и m1. Используя b и m1 можно задать запретную область для АФХ. Но недостаток заключен в том, что если АФХ будет касаться запретной области в разных точках, перерегулирование s будет разным.

 Если имеется АЧХ замкнутой системы |F(jw)|, то удобным критерием запаса устойчивости является показатель колебательности:Определение показателя колебательности M по максимальному значению AЧХ системы в замкнутом состоянии, и (опосредованно) запаса устойчивости

Показатель колебательности - M,

равный максимальному значению АЧХ замкнутой системы приведенной к коэффициенту усиления в области низких частот. Т.е. вынужденное движение на резонансной частоте будет иметь амплитуду в M раз большую, чем в области низких частот. И чем больше M, тем меньше запас устойчивости.

Если имеется только АФХ разомкнутой системы W(jw), то показатель колебательности M удобно использовать в виде фоновой сетки, которой можно пользоваться как линиями уровня M О [1/4; 1/2; 1; 0,707; 1,41; 2; 4]. Выполним расчет сетки:

Сетка показателя колебательности M на АФХ - W(jw)

где: (1) - уравнение окружности с радиусом R, и центром в точке C.

Оценка быстродействия САР

Оценить быстродействие можно по частотным характеристикам замкнутой и разомкнутой системы, используя:

  1. |F(jw)| - АЧХ замкнутой системы
  2. P(w) = Re(F(jw)) - вещественную ЧХ
  3. W (jw) - АФХ разомкнутой системы
  4. ЛАЧХ & ЛФЧХ
  5. ...

При этом в качестве критериев используют величины: