Типовые звенья и их характеристики

Единичная функция. Дельта-функция.
Типовые реакции систем

Рабочие файлы: [Интеграл Дюамеля] [Интеграл свертки]
[h(t) & w(t)] [Интеграл свертки]

Единичная ступенчатая функция - 1(t)
Математическая функция, заданная условиями: 1(t) = 0 при t < 0, и 1(t) = 1 при t > 0. Для автоматических систем является распространенным видом входного воздействия. Как правило, подобные воздействия сопровождают процессы включения систем и вызывают переходы от одного установившегося состояния к другому.
Дельта-функция Дирака - d(t)
Математическая функция, заданная условиями: d(t® Ґ при t = 0, и d(t) = 0 при t  0, - т.е. это импульс с бесконечной амплитудой, площадь которого принимается равной 1. Для автоматических систем является менее распространенным видом входного воздействия, чем единичная ступенчатая функция. Однако для теоретического описания последних имеет существенное значение. Подобные воздействия характерны для радарных комплексов, описывают передачу импульса при упругом взаимодействии и т.д.

Из определений функций 1(t) и d(t) очевидна связь между ними:

(1)

1(t) = т d(tdt    и    d(t) = 1'(t).

Единичная ступенчатая функция 1(t) легка для практической реализации с высокой точностью, однако дельта-функцию Дирака d(t) реализовать сложнее. Для теоретического описания систем и их моделирования ее можно грубо представить с помощью двух ступенчатых функций:

(2)

d(t) » N 1(t) - N 1(t-e),

где: N - амплитуда функций, e - время, на которое запаздывает вторая ступенчатая функция, при этом N e = 1 и e ® 0.

Переходная функция или характеристика - h(t)
Переходный процесс на выходе типового звена или линейной системы, возникающий при подаче на вход единичной ступенчатой функции 1(t).
Функция веса - w(t)
Переходный процесс на выходе типового звена или линейной системы, возникающий при подаче на вход короткого импульса, который, в приближении, можно рассматривать как дельта-функцию Дирака d(t).

В виду независимости присущих линейным системам свойств от внешних воздействий и наличия связи (1) между последними, подобное же отношение существует и для соответствующих типовых реакций:

h(t) = т w(t) dt     и     w(t) = h'(t).

Докажем эту взаимосвязь подав на систему грубую реализацию дельта-функции (2). В этом случае переходный процесс на выходе можно представить следующей суперпозицией:

y(t) = N h(t) - N h(t-e),

которая будет являться функцией веса, предел которой (при e ® 0) будет равен производной от переходной функции:

w(t) = lim0( e N (h(t) - h(t-e)) / e ) = h'(t), - напомним: N e = 1.

Функция веса связана с передаточной функцией преобразованием Лапласа:

W(s) = oҐ т w(t) e -st dt.

Переходная функция связана с передаточной функцией преобразованием Карсона:

W(s) = s oҐ т h(t) e -st dt.

Для произвольного входного воздействия, переходный процесс на выходе линейной системы может быть определен на основании интеграла Дюамеля-Карсона, если известны типовые реакции:

где: t - вспомогательное время интегрирования.

Типовые динамические звенья

Рабочие файлы: [Звенья]

Типовые динамические звенья
Совокупность элементарных, универсальных математических функций наиболее часто используемых при построении динамических моделей реальных объектов. Представляют собой ДУ, записанные в особой форме - в виде ПФ связывающих входной и выходной сигналы звеньев. Обычно ПФ записываются не для временного домена, а для домена Лапласа, связывая в этом варианте не сигналы (т.е. не функции времени), а их изображения.

Типовые динамические звенья Частотные характеристики типовых динамических звеньев

Наличие нулевых корней в числителе или знаменателе ПФ типовых звеньев - это признак для разбиения последних на три группы:

Передаточные функции типовых динамических звеньев

Правила преобразования структурных схем линейных систем

Декомпозиция любой линейной системы на модули (модуляризация) эквивалентна ее представлению с помощью типовых динамических звеньев. Блок-схема может содержать большое количество звеньев, и их соединение может быть произвольным. Существует лишь два основных правила преобразования структурных схем линейных систем.

Для упрощения более сложных соединений следует пользоваться принципом суперпозиции, как показано на рисунке.

Правила преобразования структурных схем линейных систем

Поскольку в логарифмическом домене операция умножения осуществляется сложением, результирующая ЛАЧХ последовательно включенных звеньев получается сложением исходных. Построение результирующей ЛАЧХ параллельно включенных звеньев выполняется по огибающей исходных. Здесь действует принцип – если один из параллельных каналов с изменением частоты сигнала перестает его пропускать, то сигнал проходит по второму параллельному каналу.