Описание САР в частотном домене

Частотная передаточная функция

Рабочие файлы: [Измерение ЧХ]

Если на вход любой системы подать сигнал синусоидальной формы:

x(t) = Xm cos(wt) = Xm e jwt .

Очевидно, что выходной сигнал будет иметь ту же форму:

y(t) = Ym cos(wt+j) = Ym e j(wt+j) .

Зависимость же между амплитудами и фазами выходного и входного сигналов определяет ДУ движения системы. Возмем произвольное, считая помеху f(t) равной нулю:

(T22 p2 + T1 p + 1) y(t) = (k1 + k2 p) x(t).

Подставим сигналы в уравнение движения:

T22(jw)2 Ym e j(wt+j) + T1(jw) Ym e j(wt+j) + Ym e j(wt+j) = k1 Xm e jwt + k2(jw) Xm e jwt .

Найдем отношение выходного сигнала ко входному:

Частотная передаточная функция.

Заметим. Если вместо подстановки сигналов записать ДУ движения системы для домена Лапласа и вновь найти отношение выходного сигнала к входному (а точнее их изображений), то полученная в ходе этого преобразования ПФ совпадет с точностью до свободной переменной с частотной ПФ.

Резюме 1: Частотная передаточная функция получается из обычной заменой оператора Лапласа s на комплексную частоту jw, т.е. в результате перехода от изображения Лапласа к изображению Фурье.

Резюме 2: ДУ движения системы связывает входной и выходной сигналы (т.е. функции времени), ПФ связывет изображения Лапласа тех же сигналов, а частотная ПФ связывает их спектры.

Частотные характеристики

Частотная передаточная функция может быть представлена в следующих видах:

W(jw) = A(w) e jj(w),      или    W(jw) = U(w) + jV(w) ;

где:

Амплитудно-фазовая (частотная) характеристика или годограф Найквиста

Амплитудно-фазовая характеристика (годограф Найквиста)
Графическое отображение для всех частот спектра отношений выходного сигнала САР к входному, представленных в комплексной форме. Величина отрезка от начала координат до каждой точки годографа показывает во сколько раз на данной частоте выходной сигнал больше входного, а сдвиг фазы между сигналами определяется углом до упомянутого отрезка.Правила отображения "Амплитудо-фазовой характеристики" или "Годографа Найквиста" в программах математического моделирования

От АФХ порождаются все другие частотные зависимости:

Логарифмические ЧХ - ЛАЧХ & ЛФЧХ

Построение ЛАЧХ & ЛФЧХ производится по выражениям:

L(w) = 20 lg |W(jw)| = 20 lg A(w),  [дБ];    j(w) = arg(W(jw)),  [рад].

Числитель и знаменатель ПФ САР могут быть представлены либо в виде отношения полиномов:

,

либо в виде отношения их разложений на элементарные множители:

(1)

Передаточная функция линейной системы, записанная в наиболее обобщающем виде

Подстановка s¬jw позволяет перейти в частотный домен. При наличии ЭВМ построение ЛАЧХ & ЛФЧХ не составит труда  в любом случае. Однако разложенная на множители ПФ (1) позволяет построить асимптотические ЛАЧХ & ЛФЧХ практически без вычислительной работы. Каждый линейный множитель ее числителя и знаменателя есть комплексное число. Найдем модуль каждого (как гипотенузу прямоугольного треугольника), и перейдем к логарифмическому масштабу:

Обобщающая формула для построения ЛАЧХ.

Для упрощения дальнейших построений избавимся от операции умножения, заменив ее операцией сложения в логарифмическом домене:

(2)

Обобщающая формула для построения ЛАЧХ.

Легко понять, что каждое слагаемое выражения (2) есть либо прямая линия, либо асимптотически приближается к прямым линиям при устремлении частоты к нулю и к бесконечности. Наклон аппроксимирующих прямых всегда кратен 20 дБ за декаду.

Для построения ЛФЧХ необходимо найти фазу каждого множителя числителя и знаменателя частотной ПФ, как арктангенс отношения его противолежащего катета к прилежащему (напомним, что при произведении комплексных чисел (в экспоненциальной форме) фазы (показатели степени) складываются, а при делении - вычитаются). Таким образом, построение ЛФЧХ производится по выражению:

Обобщающая формула для построения ЛФЧХ.

Отметим так же, что одному Белу соответствует увеличение мощности в 10 раз. Поскольку A - это физическая величина либо первого, либо второго рода, а не их произведение (т.е. не мощность); увеличение ее в 10 раз соответствует увеличению мощности в 100 раз, что соответствует двум Белам или 20 дБ.

Правила построения асимптотических ЛАЧХ & ЛФЧХ

Правила построения асимптотических ЛАЧХ & ЛФЧХ, точнее каждого слагаемого выражения (2) показаны на рисунках.

Точность асимптотических ЛАЧХ & ЛФЧХ достаточна в большинстве случаев. Для звеньев первого порядка максимальная амплитудная ошибка вблизи частоты сопряжения составляет 3 дБ. Максимальная фазовая ошибка - 6%. Фрагмент ЧХ колебательного звена вблизи резонансной частоты лишь иногда следует уточнить по опорным справочным кривым для данного z.