Федосов Борис Трофимович
РИИ, Рудный, Казахстан
Клиначёв Николай Васильевич
ЮУрГУ, Челябинск, Россия

УДК 681.51.01
Ф338

О применении критерия Михайлова при анализе устойчивости линейной системы стандартными средствами программ математического моделирования

Программы математического моделирования систем VisSim [1], SIMPLORER, DYNAST сегодня не имеют специального инструментария для построения годографа характеристического полинома системы. Однако для анализа устойчивости систем с помощью критерия Михайлова могут быть использованы их стандартные библиотеки частотного анализа.

Обоснование метода:

Программа VisSim способна строить годографы комплексных коэффициентов передачи линейных систем, имеющих дробно-рациональные передаточные функции, степень числителя которых меньше степени знаменателя.

Характеристический полином системы, по которому строится годограф Михайлова, можно рассматривать как дробно-рациональную функцию со знаменателем, равным единице. Для такой передаточной функции VisSim не может строить годографов. Тем не менее, если сформулировать критерий Михайлова для инверсии характеристического полинома, то требования VisSim’a к передаточной функции будут выполнены, годограф инверсии может быть построен применением Nyquist Response и проанализирован с позиций критерия Михайлова.

Сформулируем критерий Михайлова в виде:

САР устойчива тогда и только тогда, если годограф инверсии ее характеристического полинома начинается на действительной оси комплексной плоскости и при изменении частоты от нуля до бесконечности последовательно проходит по часовой стрелке n квадрантов, где n – степень характеристического полинома. Инверсия характеристического полинома это дробь, в числителе которой единица, а в знаменателе – характеристический полином.

Доказательство:

Пусть D(s) характеристический полином некоторой системы. В классической формулировке критерия Михайлова анализируется годограф функции мнимого аргумента . Этот годограф проходит n квадрантов против часовой стрелки в том и только в том случае, если система устойчива [3]. Для инверсии характеристического полинома можно записать:

(1)

.

Как видно, (1) можно рассматривать как преобразование точек годографа Михайлова в другой, инверсный годограф на комплексной плоскости. Любой точке исходного годографа будет однозначно соответствовать точка на новом годографе, причем расстояния от этих точек до начала координат взаимнообратны, а углы поворота векторов противоположны. Поэтому, если исходный годограф Михайлова устойчивой системы разворачивается против часовой стрелки и стремится к бесконечности, то годограф его инверсии с увеличением частоты поворачивается по часовой стрелке и в пределе стремится к началу координат. Отметим, что для систем в критическом состоянии, когда годограф характеристического полинома проходит через начало координат, инверсный годограф может уходить в бесконечность на некоторых частотах.

Пример 1. Построение годографа инверсии характеристического полинома системы и анализ ее устойчивости с помощью модифицированного критерия Михайлова

Пусть передаточная функция системы имеет вид:

(2)

.

Ей соответствует характеристический полином:

(3)

D(s) = (0.02s + 1) (0.5s + 1) (6.2s + 1) .

Для построения годографа инверсии D(s) в VisSim-e нет необходимости раскрывать скобки в (3), т.е. представлять полином в канонической форме. Инверсия (3) примет вид:

(4)

D(s)-1 = 1 / [ (0.02s + 1) (0.5s + 1) (6.2s + 1) ] ,

Для (4) нетрудно составить в VisSim-е блок-схему (см. рис. 1), позволяющую построить годограф инструментарием Nyquist Response.

Преобразование системы для построения инверсии характеристического полинома

Рис. 1. Исходная система и схема для построения инверсного годографа

Результаты построения приведены на рис. 2. Напомним, что VisSim строит годограф не только для частот, изменяющихся от 0 до +Ґ, но и симметричный ему, для частот от 0 до -Ґ (начало годографа для положительных частот отмечается крестиком).

Годограф инверсии характеристического полинома, построенный для анализа системы модифицированным критерием Михайлова

Рис. 2. Годограф инверсии характеристического полинома начинается в точке (1, j0) и при изменении частоты от 0 до +Ґ последовательно проходит по часовой стрелке три квадранта, заканчиваясь в начале координат. В соответствии с модифицированным критерием Михайлова система устойчива

Поскольку анализировалась система, состоящая из трех устойчивых, последовательно соединенных звеньев, то изначально было ясно, что она является устойчивой. Результат, полученный с помощью рис. 2 в полной мере этому соответствует.

Пример 2. Оценка влияния изменения коэффициентов характеристического полинома звена Вышнеградского на годограф инверсии характеристического полинома

Пусть передаточная функция разомкнутого контура системы имеет вид:

(5)

.

В соответствии с критерием Гурвица разомкнутая система (5) будет устойчива при a1a2 > 1. С помощью инструментария Nyquist Response программы VisSim для системы (5) можно построить годограф комплексного коэффициента передачи (АФХ). Отметим, что этот годограф позволяет в соответствии с критерием Найквиста судить об устойчивости не разомкнутого контура (5), а замкнутой системы:

(6)

.

Но, одновременно, для разомкнутой системы, годограф (5) является инверсией ее характеристического полинома! И, следовательно, по нему можно судить об устойчивости системы в разомкнутом состоянии в соответствии с критерием Михайлова.

Семейство годографов инверсии характеристического полинома звена Вышнеградского при вариации коэффициентов

Рис. 3. Годографы инверсии характеристического полинома звена Вышнеградского при одновременном изменении коэффициентов (для положительных частот красная дуга). По мере уменьшения коэффициентов, система переходит из устойчивого состояния в неустойчивое, а годограф инверсии характеристического полинома изменяет направление и последовательность обхода квадрантов

На рис. 3. приведена анимация, иллюстрирующая эволюцию годографа инверсии характеристического полинома системы Вышнеградского (5), при синхронном уменьшении коэффициентов (a1=a2) от 2 до 0.2. Кроме того, здесь же показаны соответствующие переходные функции. При a1=a2=2 годограф проходит по часовой стрелке три квадранта и по мере уменьшения этих коэффициентов к 1, т.е. по мере уменьшения запасов устойчивости системы, петля годографа все увеличивается. С потерей системой устойчивости годограф приходит в начало координат против часовой стрелки, что и иллюстрирует формулировку критерия Михайлова для инверсии характеристического полинома. Чем дальше корни характеристического уравнения системы от границы устойчивости в ту или другую сторону, тем меньше размер петли годографа.

Таким образом, примеры 1 и 2 показывают новый, непредусмотренный разработчиками способ использования стандартных библиотек анализа моделирующих программ. Он позволяет анализировать линейные системы с помощью критерия Михайлова.

Об использовании годографа комплексного коэффициента передачи разомкнутого контура для одновременного анализа устойчивости как разомкнутой, так и замкнутой САР

Дальнейшее развитие формулировки критерия Михайлова можно осуществить, распространив ее с характеристического полинома системы на ее комплексный коэффициент передачи. Ограничимся наиболее значимым для практики случаем минимально-фазовой системы.

Минимально-фазовая САР устойчива тогда и только тогда, если годограф ее комплексного коэффициента передачи начинается на действительной оси и при изменении частоты от нуля до бесконечности проходит по часовой стрелке (n - m) квадрантов, где n – степень знаменателя, а m – степень числителя передаточной функции САР.

Естественно, правило Стодолы должно соблюдаться и полином числителя также должен иметь положительные коэффициенты, что в практически значимых случаях, как правило, выполняется. Требование последовательного прохождения квадрантов здесь не выдвигается, т. к. форсирующие множители могут, в принципе, при соответствующих параметрах, вернуть годограф в некотором диапазоне частот назад на некоторое число квадрантов. Система должна быть реализуемой, поэтому требуется выполнение условия n > m.

Доказательство проведем, как было отмечено выше, для практически значимого случая, когда нули передаточной функции системы располагаются в левой части полуплоскости.

Если все корни характеристического полинома системы располагаются слева от мнимой оси, то изменение его аргумента при изменении частоты от 0 до +Ґ составит np/2 [3]. Аналогично, изменение аргумента числителя составит mp/2. Поэтому, изменение аргумента комплексного коэффициента передачи составит (mp/2 - np/2). Следовательно, вектор комплексного коэффициента передачи при изменении частоты от 0 до +Ґ повернется в общей сложности на угол -(n - m)Чp/2. Поэтому годограф комплексного коэффициента передачи при изменении частоты от 0 до +Ґ, начавшись на действительной оси, пройдет по часовой стрелке (n - m) квадрантов. Для неустойчивых систем, имеющих полюса в правой полуплоскости, набег аргумента будет другой и годограф комплексного коэффициента передачи не сможет пройти названное число квадрантов. Что и требовалось доказать.

Используя сформулированный выше критерий, можно сразу судить по годографу Найквиста, т.е. по годографу комплексного коэффициента передачи разомкнутого контура, об устойчивости как замкнутой, так и разомкнутой САР. Отметим, что при проектировании САР следует стремиться к тому, чтобы она в разомкнутом состоянии была устойчивой или, по крайней мере, нейтральной.

Пример 3. Анализ устойчивости САР частоты вращения вала двигателя постоянного тока независимого возбуждения с использованием критерия Найквиста и модифицированного критерия Михайлова

На рис. 4. приведена демонстрационная схема САР, контур которой содержит гибкую местную обратную связь. Следовательно, в разомкнутом состоянии САР может быть неустойчивой.

Блок-схема системы

Рис 4. Разомкнутый контур САР. Первое из охваченных местной обратной связью звеньев имеет коэффициент усиления 27. САР неустойчива

На рис. 5 в разных масштабах показан годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутого контура САР.

АФХ

Рис. 5. Годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой САР. Годограф по мере роста частоты приближается к началу координат и вблизи начала координат переходит из третьего квадранта не во второй, а в четвертый, где и стремится к началу координат. Таким образом годограф проходит ноль квадрантов, следовательно, в соответствии с модифицированным критерием Михайлова система неустойчива

С точки зрения модифицированного критерия Михайлова, разомкнутый контур неустойчив, т.к. годограф в области высоких частот приходит в начало координат не по часовой стрелке, а против. При этом он проходит четвертый, третий квадранты, а затем возвращается в четвертый вновь. Осциллограмма рисунка 4 факт неустойчивости подтверждает. Как нетрудно видеть из блок-схемы рисунка 4 (одно форсирующее звено и характеристический полином шестого порядка), в случае устойчивости разомкнутой системы годограф должен был пройти в общей сложности по часовой стрелке 5 квадрантов.

Поскольку разомкнутая САР неустойчива, рассмотрение годографа с точки зрения критерия Найквиста теряет смысл. Необходимо вначале обеспечить устойчивость разомкнутого контура. Тем не менее, по годографу видно, что и замкнутая САР будет неустойчивой, поскольку годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутого контура не охватывает точку с координатами (-1, j0) в положительном направлении l/2 раз, где l – число корней характеристического полинома в правой полуплоскости [3].

После осуществления предварительной коррекции, путем уменьшения в 10 раз коэффициента усиления первого из звеньев, охваченных гибкой обратной связью, схема приобретает вид:

Блок-схема системы

Рис. 6. Схема САР после предварительной коррекции. Коэффициент усиления первого из охваченных местной обратной связью звеньев, понижен в 10 раз, его новое значение 2.7. Из переходной характеристики видно, что разомкнутый контур стал устойчивым

На рис. 7 показан в различных масштабах годограф комплексного коэффициента передачи схемы рис. 6.

АФХ

Рис. 7. Годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой, предварительно скорректированной САР. В соответствии с модифицированным критерием Михайлова, разомкнутая САР устойчива, а в соответствии с критерием Найквиста – замкнутая САР будет неустойчивой

Как видно на рис. 7, годограф проходит по часовой стрелке пять квадрантов. Это означает, в соответствии с модифицированным критерием Михайлова, что анализируемая разомкнутая САР устойчива. С другой стороны, этот годограф охватывает точку с координатами (-1, j0), а это значит, в соответствии с критерием Найквиста, что замыкание главной обратной связи приведет к потере системой устойчивости.

Заключение

Литература

  1. Сайт фирмы Visual Solutions Inc. http://www.vissim.com
  2. Федосов Б. Т., Клиначёв Н. В. О построении области устойчивости линейной системы по некоторому параметру стандартными средствами программ математического моделирования. http://model.exponenta.ru/d_region.html, Рудный, Челябинск, 2002.
  3. ТАУ. Ред. Нетушил А.В. М., Высш. шк., 1976, 400 с.

Рекомендовано к опубликованию кафедрой автоматизации технологических процессов и производств Рудненского индустриального института (Казахстан) и кафедрой электротехники Южно-Уральского государственного университета (Россия).