Федосов Борис Трофимович
РИИ, Рудный, Казахстан
Клиначёв Николай Васильевич
ЮУрГУ, Челябинск, Россия

УДК 681.51.01
Ф338

О методе синтеза линейных систем основанном на построении областей D-разбиения для контурного коэффициента усиления

Метод построения областей D-разбиения для одного параметра [1] предполагает расширение области его значений до всей комплексной плоскости, путем добавления ему свободной мнимой составляющей:

(1)

k' = k ± jx .

В последствии, области D-разбиения, построенные в комплексной плоскости, обрезаются до отрезков на оси вещественных чисел, в силу физической природы параметров.

Положим, D-разбиение выполнялось для контурного коэффициента усиления (см. пример 2 в статье [1]). Однако теперь, будем воспринимать временно вводимую для контурного коэффициента усиления мнимую составляющую (в частности на границе областей D-разбиения) чуть иначе:

(2)

.

Сравнение форм записи комплексного коэффициента усиления (2) с передаточной функцией звена чистого запаздывания e-jwt позволяет расширить интерпретацию результата D-разбиения. Итак, расстояние от начала координат до конкретной точки границы - есть значение контурного коэффициента усиления. Если при данном контурном коэффициенте усиления система устойчива, то угол до этого отрезка - есть запас устойчивости по фазе m1, который присущ системе. 

Перечислим критерии, обеспечивающее системе хорошее качество регулирования при синтезе методом ЛАЧХ:

На рисунке 1 показана область комплексных значений контурного коэффициента усиления k, для которой выполняются перечисленные требования.

Формирование области допустимых значений контурного коэффициента усиления САР

Рис. 1. Формирование области допустимых значений комплексного контурного коэффициента усиления САР, в соответствии с требуемыми запасами по амплитуде и фазе

Пример 1. Выбор оптимального значения контурного коэффициента усиления k для системы с ЛАЧХ вида 1-2 при заданном желаемом диапазоне запаса по фазе от m1min до m1max

Для системы (см. источник [1], пример 2) с характеристическим уравнением:

(0.02s+1)(0.5s+1)(6.2s+1) + k = 0 .

область D-разбиения контурного коэффициента усиления k имеет вид:

Область D-разбиения контурного коэффициента усиления k системы с ЛАЧХ вида 1-2

Рис. 2

Согласно желаемому диапазону запаса по фазе от m1min=35° до m1max=65° в плоскости D-разбиения контурного коэффициента усиления k проводятся два луча под соответствующими углами. Отсеченный ими фрагмент границы D-разбиения соответствует диапазону допустимых значений контурного коэффициента усиления k. Оптимальным значением будет точка в центре диапазона (см. рис. 3).

Алгоритм выбора оптимального значения контурного коэффициента усиления k в области D-разбиения

Рис. 3. Фрагмент области D-разбиения, увеличенный вблизи оптимального значения контурного коэффициента усиления k

Литература

  1. Федосов Б. Т., Клиначёв Н. В. О построении области устойчивости линейной системы по некоторому параметру стандартными средствами программ математического моделирования. http://model.exponenta.ru/d_region.html, Рудный, Челябинск, 2002.
  2. Клюев А. С. Автоматическое регулирование. М., Энергия, 1973. стр. 280.

1.11.2002