Федосов Борис Трофимович
РИИ, Рудный, Казахстан
Клиначёв Николай Васильевич
ЮУрГУ, Челябинск, Россия

УДК 681.51.01
Ф338

О построении области устойчивости линейной системы по некоторому параметру стандартными средствами программ математического моделирования

Программы математического моделирования систем VisSim, SIMPLORER, DYNAST сегодня не имеют специального инструментария для построения областей устойчивости по некоторому параметру. Однако для решения этой задачи могут быть использованы их стандартные библиотеки частотного анализа.

Пусть имеется линейная система, и для нее требуется определить диапазон изменения некоторого параметра k, в котором система сохраняет устойчивость. Предполагается, что параметр k, являясь либо коэффициентом усиления, либо постоянной времени, либо коэффициентом полинома передаточной функции, входит в характеристический полином системы линейно:

(1)

D(s) = Q(s) + k R(s) .

При достижении системой критического состояния, вследствие варьирования коэффициента k, как минимум один действительный корень или пара комплексно-сопряженных корней характеристического полинома D(s) системы оказываются на мнимой оси, а соответствующее значение k оказывается на границе областей D-разбиения. При этом полином мнимого аргумента D(jw) обращается в ноль:

(2)

Q(jw) + k R(jw) = 0 .

Перепишем равенство относительно параметра k:

(3)

k = - Q(jw) / R(jw) .

Согласно физической природе параметров, область значений k находится на оси вещественных чисел. Исключительно в целях нахождения областей устойчивости, дабы иметь возможность воспользоваться методом D-разбиения, разделим параметр на две составляющие, расширив область его значений до всей комплексной плоскости:

(4)

k' = k + jx .

Заметим, что мнимая составляющая параметра нам не важна и она может принимать любые значения. Следовательно, комплексный параметр k', у которого свободны для вариации и вещественная и мнимая часть, может быть уравнен с правой частью равенства (3) при любой частоте:

(5)

k' = - Q(jw) / R(jw) .

Теперь, при изменении частоты w, правая часть равенства опишет годограф в комплексной плоскости, который будет границей устойчивости для вариаций комплексного параметра k'. В случаях, когда степень полинома Q(jw) меньше или равна степени полинома R(jw), годограф может быть построен в программах математического моделирования применением годографа Найквиста (Nyquist Response).

Для физически реализуемых систем (с частотной передаточной функцией W(jw) = k R(jw) / Q(jw) ) степень полинома R(jw) меньше или равна степени полинома Q(jw). Поэтому, для обхода ограничения моделирующих программ, области D-разбиения можно построить для обратной величины параметра K' = 1/k'. Выявленные области устойчивости для обратной величины K', нетрудно преобразовать в области устойчивости величины k'. Для этого нужно найти обратную величину граничных значений величины K'. Задача упрощается, если сразу ограничить области устойчивости до входящих в них отрезков оси вещественных чисел, поскольку завершающая операция требует возвращения к физической сути параметра.

Пример 1. Построение области D-разбиения по коэффициенту характеристического полинома

Рассмотрим систему третьего порядка с нормированными коэффициентами (систему Вышнеградского), имеющую в замкнутом состоянии передаточную функцию:

(6)

.

Ее характеристическое уравнение:

(7)

.

Отсюда

(8)

.

Как видно из (8), степень числителя больше степени знаменателя. Такая система является нереализуемой и, поэтому, построение ее годографа в VisSim'e не предусмотрено. Возьмем обратную величину:

(9)

.

Уравнение (9) описывает кривую границы областей D-разбиения в плоскости параметра 1/а2, степень числителя меньше степени знаменателя и, следовательно, можно построить кривую, используя Nyquist Response в VisSim'e. Пример блок-схемы приведен на рисунке 1.

Рис. 1. Блок-схема в VisSim-е, позволяющая определить область и диапазон устойчивости в плоскости инверсии коэффициента характеристического полинома а2 системы третьего порядка. Определение области устойчивости выполняется штриховкой границы областей

Как видно из рисунка 1, система сохраняет устойчивость при изменении величины 1/а2 от нуля до единицы. Это соответствует изменению коэффициента а2 от единицы до бесконечности, что, конечно, совпадает со значениями, даваемыми диаграммой Вышнеградского [1]. Рисунок 1 демонстрирует так же последовательность проведения штриховки границы - слева по ходу годографа, начиная от точки, соответствующей частоте w = -Ґ до точки, соответствующей частоте w = +Ґ.

Для сравнения приведем такой же график, построенный в среде MathCAD:

Рис. 2. Область D-разбиения в плоскости инверсии коэффициента a2 характеристического полинома системы третьего порядка, построенная в среде MathCAD

Пример 2. Определение области устойчивости системы третьего порядка в плоскости коэффициента усиления контура

Пусть имеется замкнутая САР (система автоматического регулирования) с передаточной функцией разомкнутого контура:

(10)

.

Требуется определить диапазон изменения параметра k (коэффициента усиления контура), в котором замкнутая система сохраняет устойчивость.

Выразим k через компоненты характеристического уравнения САР. Передаточная функция замкнутой САР:

(11)

equ_06.gif (1603 bytes);

следовательно, характеристическое уравнение имеет вид:

(12)

(0.02s+1)(0.5s+1)(6.2s+1) + k = 0 .

Отсюда

(13)

k = -(0.02s+1)(0.5s+1)(6.2s+1) .

Правая часть (13) представляет собой передаточную функцию нереализуемой системы и, поэтому, для нее не может быть построен средствами VisSim годограф. В то же время, для инверсии коэффициента усиления K(jw) = 1/k(jw) граница области устойчивости определится выражением:

(14)

.

Правую часть (14) можно рассматривать как дробно-рациональную функцию, представляющую собой комплексный коэффициент передачи некоторой системы, для которой VisSim способен построить годограф с помощью Nyquist Response.

Получив область устойчивости для инверсии некоторого параметра, нетрудно найти область устойчивости и для самого параметра. Если значение инверсии параметра K = | K | e jj входит в область устойчивости, то соответствующая точка области устойчивости для самого параметра будет иметь вид:

(15)

.

На рисунке 3 приведена блок-схема VisSim-а, позволяющая определить область устойчивости системы в плоскости инверсии коэффициента усиления ее контура. Как видно, система устойчива при 1/k > 0.0029, т.е. при k < 345.

D-разбиение по параметру 1/k

Рис. 3. Блок-схема в VisSim-е, позволяющая определить диапазон устойчивости системы в плоскости инверсии коэффициента усиления k ее контура. D-разбиение показано в разных масштабах

Для проверки полученных результатов построена блок-схема, приведенная на рисунке 4. Как видно, система при значении коэффициента усиления k = 345 находится вблизи границы устойчивости, что подтверждает полученный ранее методом D-разбиения результат.

Замкнутая система автоматического регулирования на границе устойчивости

Рис. 4. Замкнутая САР с коэффициентом усиления 345 находится на границе устойчивости. Годограф Найквиста проходит вблизи точки с координатами (-1, 0j)

Следует отметить, что при выполнении проверки не рекомендуется активировать такие методы интегрирования как прямой и обратный Эйлера, поскольку в этом варианте все интеграторы модели в частотной области имеют сдвиг фазы либо чуть больше чем 90 градусов, либо чуть меньше (это недостаток названных методов интегрирования, а не моделирующей программы). Блок transferFunction в VisSim-е рассчитывается исключительно методом Эйлера (связано с подключенным к блоку инструментарием билинейного преобразования) и в проверочной модели используется исключительно для наглядности. Однако для получения достоверных результатов потребовалось использовать шаг симуляции в 1000 раз меньший, чем требуется при использовании любого другого метода интегрирования имеющегося в VisSim-е.

В заключение отметим, что границы областей D-разбиения для сложных систем могут иметь очень причудливый характер и для правильного определения области устойчивости следует подробно рассматривать их в различных масштабах.

Резюме:

Литература

  1. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. В 4-х книгах /Под ред. В. В. Солодовникова. -M.: Машиностроение, 1967.
  2. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. - M.: Наука, 1975.

Рекомендовано к опубликованию кафедрой автоматизации технологических процессов и производств Рудненского индустриального института (Казахстан) и кафедрой электротехники Южно-Уральского государственного университета (Россия).