Федосов Борис Трофимович
Рудненский индустриальный институт,
Рудный, Казахстан
Об авторе

УДК 681.51.01
Ф338

Кинедины и прогнодины - элементарные инерционные
и прогнозирующие объекты

         Почему во 2 – м законе Ньютона следствием приложения силы к телу некоторой массы является ускорение, т.е. вторая производная положения тела по времени? А почему, например не первая производная или не третья? Найти достаточно убедительный ответ самому или в литературе мне не удалось. Возможно, что объяснение уходит в метрику пространства (теорема Нетер), в котором мы живем, и глубже.
         И тогда я решил попробовать построить по примеру механики Ньютона - Галилея другую механику, в которой сила приводила бы не к ускорению тела, а к появлению производной его положения по времени другой степени, например третьей. Если бы это оказалось возможным, можно было бы попробовать получить ответ на поставленный вопрос, сравнивая свойства различных моделей.
        Оказалось, что теорию такой механики построить можно, более того, механик может быть бесконечно много, и они отражают свойства реальных объектов в нашем мире. Некоторые из этих механик широко используются, но только традиционно для их описания применяется другой математический аппарат.

         Механика Галилея-Ньютона (механика массивных тел) это строгая завершенная классическая теория, изложение которой оттачивалось столетиями. Отметим для примера только [1] - [4]. В серьезных учебниках механика массивных тел рассматривается как теория движения тел в пространстве, причем часто в качестве исходных положений выбираются наиболее общие законы движения, например принцип наименьшего действия [2], [3]. При этом исходные принципы постулируются, а причинно-следственная связь сил, прикладываемых к телу, и вызываемого ими движения тела, отодвигается, как очевидная, на второй план. Само собой разумеющимся и незыблемым в механике Галилея - Ньютона считается, что сила приводит к ускоренному движению тела в пространстве. Названный аксиоматический подход к построению теории, несмотря на свою практическую эффективность при решении сложных задач, не очень-то нагляден.
         Ниже показана возможность построения на основе математического аппарата, используемого в классической механике, других механик, в которых сила приводит не к ускорению тела, а к другой производной его положения по времени и показывается, что такие механики состоятельны, отражают реальность, по крайней мере, в ограниченных объемах пространства и на ограниченных отрезках времени. Такое описание является альтернативным для существующих описаний реальных объектов, систем и их элементов и адекватно им.

  1. Кинедины и прогнодины
  2. Элементарные инерционные объекты
  3. Элементарные прогнозирующие объекты
  4. Дифференциальное уравнение, кинедины и прогнодины

1. Кинедины и прогнодины

Движение это некоторое изменение координат тела или его производных, которое, как показывает практика, может происходить вследствие воздействий на тело внешних сил. Ограничимся, чтобы не загромождать изложение деталями, одномерным случаем поступательного движения, который без особых трудностей может быть обобщен на случай трехмерного пространства и вращательное движение. Отметим только некоторые моменты теории, необходимые для иллюстрации общих идей, опуская для краткости известные определения основных понятий.

Назовем кинедином (от слов кинематика - движение и дина - сила) n-го порядка объект, реагирующий на воздействие появлением производной n-й степени от своей выходной величины. Для линейного объекта эта производная пропорциональна воздействию:



(1.1)

,

или, что то же



(1.2)

,

здесь
F – сила (воздействие), действующая на объект;
s - положение объекта, величина характеризующая его состояние;
kn - коэффициент пропорциональности, который назовем коэффициентом упругости кинедина n-го порядка;
m n - мера инерции кинедина, «масса» кинедина n-го порядка.

Cinedin

Рис. 1.1. Схематическое изображение кинедина n-го порядка

Как показано ниже, частным случаем кинедина может быть тело или система связанных тел в пространстве, а воздействием – сила, приложенная к кинедину.

Назовем прогнодином (от прогноз и дина - сила) n-го порядка объект (тело) реагирующий смещением s на n-ю производную воздействия (силы):



(1.3)

,

здесь gn - коэффициент пропорциональности, который назовем коэффициентом прогнодина n-го порядка.

Prognodin

Рис.1.2. Структурно-алгоритмическая схема прогнодина

Обоснование термина прогнодин состоит в том, что если эти устройства работают в соответствии с (1.3), то, зная силу и ее младшие производные в настоящий момент времени, путем определения выходных величин прогнодинов, можно определить значение силы в последующие моменты времени, по крайней мере, на некоторый небольшой временной интервал, используя ряд Тейлора:


(1.4)

,

Ввести такие определения не сложно, вопрос соответствуют ли аналитические объекты (1.1) и (1.3) некоторым реальным? Можно ли используя их, описывать существующие в природе и технике объекты и исследуя их, получить новые сведения о реальных объектах?

Выдающийся советский алгебраист Курош А.Г. сказал по отношению к общей алгебре [5, стр. 9]: «… Именно в такой аксиоматической науке, как общая алгебра, не нужно большого ума для того, чтобы создавать новые объекты изучения. Труднее их оправдать. … ».

Кратко рассмотрим описание кинединов и прогнодинов различных степеней и покажем, что они моделируют состояние некоторых физических объектов.

К содержанию

2. Элементарные инерционные объекты

2.1. Механика массивных тел Галилея – Ньютона
(механика инерционной среды второго порядка)

Большое значение механики Галилея – Ньютона определяется тем, что она моделирует с достаточной для многих приложений точностью огромные части Галактики и Вселенной: относительно медленное взаимное движение планет и звезд. Кроме того, многие объекты и явления в реальной земной жизни, окружающей человека, соответствуют с той или иной точностью этой модели. Ниже приводятся некоторые важные сведения из механики Галилея – Ньютона для иллюстрации классического математического аппарата, по образцу которого будет проведено описание и механик других степеней инерционности.

Строгая теория, какой является механика Галилея – Ньютона, должна содержать и содержит исходные положения и методы получения из них новой информации, а также хотя бы приближенно соответствовать реальности.

Многочисленные опыты позволили установить, что в некоторых условиях, например, когда можно пренебречь сопротивлением воздуха и трением, сила, приложенная к массивному телу (телу, обладающему массой, пусть и небольшой), приводит к его равноускоренному движению, причем ускорение это с достаточно высокой точностью пропорционально приложенной силе. В отсутствие сил тело движется равномерно, в частности, покоится на месте.

Массивный кинедин

Рис. 2.1. (анимация – прореженная видеозапись 3D модели MVS [6], 22 кадра). Кинедин второго порядка – массивный кинедин. Под действием постоянной силы (красные стрелка и линия) тело, имеющее массу М, движется равноускоренно (коричневые стрелка и линия), а пройденный путь (зеленая линия) возрастает с течением времени по квадратичной параболе. Затем, когда сила исчезает при t = 1.5 сек, тело продолжает двигаться равномерно и его пройденный путь растет линейно.
Для просмотра отдельного кадра анимации следует щелкнуть в нужный момент по кнопке «Стоп» браузера (в верхней части окна, в котором Вы читаете этот текст), для повторного запуска анимации достаточно щелкнуть там же по кнопке «Обновить»

К содержанию

2.1.1. Второй закон Ньютона и инерция массивных тел

Отличительной чертой механики Галилея-Ньютона, назовем ее механикой массивных тел, т.е. тел, имеющих массу, или, как будем еще говорить, механики инерционной среды второго порядка, является хорошо известный второй закон Ньютона: сила F, приложенная к телу, приводит к его равноускоренному движению:


(2.1)

,

Как видно, (2.1) это частный случай (1.1), Таким образом, массивное тело является кинедином второго порядка. Здесь сила F является причиной, а движение тела – следствием. В этом законе определенно указывается, что движение тел, имеющих массу, под воздействием силы равноускоренное и величина ускорения пропорциональна приложенной к телу силе. Масса m2, фигурирующая в формулировке причинно-следственной связи как часть коэффициента пропорциональности, имеет важнейший физический смысл – количественно характеризует инерцию конкретного тела. А проявляется инерция в том, что более массивные тела разгоняются или тормозятся той же силой медленнее, а в отсутствие внешних воздействий тело в общем случае двигается равномерно.

Второй закон Ньютона, есть линеаризованная математическая модель частного проявления причинно-следственной связи. Он ограничен областью своего применения: пространством, временем и условиями, в которых находится тело. Это может быть, например, область космического пространства, где тела в некоторой системе координат движутся со скоростями, существенно меньшими скорости распространения света. Но таким телом и средой могут быть и санки на льду.

К содержанию

2.1.2. Меры движения тела, воздействия силы на тело и восприятия телом действия силы

Действие силы на тело происходит в пространстве и времени, поэтому меры воздействия силы на тело, восприятия этого воздействия телом и движения тела сформированы в механике Галилея-Ньютона композицией силы, массы тела, проходимого телом пути и времени на это затраченного. Такие меры просто определяются, легко вычисляются и измеряются и, что особенно ценно и в некотором смысле удивительно, имеют ясный физический смысл.

1. Импульс силы и скорость тела

Импульс силы характеризует совокупное воздействие силы на тело за некоторый промежуток времени. Наиболее простая математическая конструкция такой характеристики может представлять собой произведение силы и времени.

Проинтегрируем (1.4):


(2.2)

,

Как видно, накопление действия силы телом с течением времени проявляется в изменении его скорости.

В механике Галилея – Ньютона масса m2 тела не зависит от сил, на него действующих, от его скорости и положения. Домножив (2.2) на массу m2 слева и справа, получим известное выражение для импульса тела:


(2.3)

,

Отсюда, следствие (импульс силы, приобретенный телом) может рассматриваться как результат накопления причины - действия силы на тело. Инерционность тела по отношению к воздействию силы проявляется в том, что тело накапливает воздействие и это накопление выражается величиной импульса, который может быть найден по результатам измерения массы и скорости тела.

Инерционность объекта можно не строго определить как его свойство постепенно, не сразу, реагировать на внешние воздействия и сохранять, по крайней мере, некоторое время, свое состояние и поведение в отсутствие внешних воздействий. Количественное описание этого свойства для массивного тела механики Галилея – Ньютона дают (2.2) и (2.3). Из этих формул следует, что в отсутствие внешних сил массивное тело (тело, имеющее массу) покоится на месте или движется равномерно. Тело накапливает действие силы, «запасая» его в импульсе. В отсутствие силы, действующей на тело, его импульс не изменяется:

(2.4)

p2 = m2·v = const ,

Отсюда следует первый закон Ньютона для механики массивных тел: в отсутствие сил, действующих на тело, оно или покоится на месте или движется равномерно. Как будет показано ниже, в механиках других степеней инерционности аналогичная формулировка будет иной. Привлекая первый закон Ньютона, с учетом (2.4) можно вывести и закон сохранения импульса для совокупности массивных (обладающих массой) тел: сумма импульсов тел постоянна.

2. Пройденный телом путь

Положение тела в пространстве – искомая величина во многих задачах механики. Оно зависит от начальных условий – начального положения тела и его скорости, а также от величины и продолжительности действия силы.

Для определения положения тела проинтегрируем дважды (2.2):


(2.5)

,

Здесь v0 и s0 скорость и положение тела в условный нулевой момент времени. Для наглядности можно положить v0 = 0 и s0 = 0.

Тогда


(2.6)

,

Отсюда, следствие (положение тела с течением времени) может рассматриваться как результат накопления причины - импульса. Инерционность проявляется в том, что тело накапливает воздействие и это накопление выражается в положении тела. Можно сказать, что физически тело накапливает воздействие, а математическая операция двукратного интегрирования силы является подходящей моделью для описания этого явления в механике массивных тел.

Способность тел к накоплению воздействий на них есть проявление общей закономерности, существующей в природе, и может более наглядно характеризовать смысл инерционности объектов и систем.

3. Работа силы

Тело движется в пространстве, точка приложения к нему силы перемещается вместе с ним, поэтому мерой воздействия силы на объект может быть и математическая композиция траектории движения тела и силы, на него воздействующей, например произведение:

(2.7)

ΔA = F · Δs ,

где:
ΔA – элементарная работа силы F;
Δs – элементарный участок пути.

На конечном участке пути работа силы в механике массивных тел


(2.8)

,

Закон сохранения энергии вытекает из (2.8): в отсутствие силы работа, т.е. передаваемая движущемуся телу энергия, равна нулю. Поскольку силы являются единственным в этой модели источником и потребителем энергии, то в отсутствие сил энергия тела сохраняется постоянной. Работа силы, действующей на неподвижное, покоящееся тело, также равна нулю.

Отметим, что, в одномерном случае работа в механике второго порядка инерционности определяется двукратным дифференцированием по времени половины квадрата величины проходимого объектом пути.

4. Действие

Действие силы можно одновременно характеризовать и во времени, и в пространстве, перемножая силу, время и пройденный путь. При движении объекта из одной точки в другую, в течение некоторого времени, сила осуществит действие:


(2.9)

,

В механике массивных тел второго порядка в одномерном случае действие пропорционально первой производной по времени от половины квадрата пройденного телом расстояния. Для наглядности в (2.9) считается, что до воздействия силы тело покоилось, т.е. было неподвижным.

Действие – очень важная характеристика, поскольку движущиеся тела подчиняются принципу наименьшего действия [2], [3].

5. Мощность

Мощность это скорость совершения силой работы. С учетом (2.9)


(2.10)

,

Как видно, мощность пропорциональна третьей производной по времени от половины квадрата пути, пройденного телом.

На этом остановим краткий обзор математического аппарата, описывающего основные физические понятия механики Галилея – Ньютона и обратимся к описанию механик других степеней инерционности.

К содержанию

2.2. Упругие тела и среды

В этой механике сила, действующая на кинедин нулевого порядка, приводит к его мгновенному смещению. Смещение это частный вид движения. Для упругого кинедина смещение s пропорционально силе F:


(2.11)

,

Здесь k0 - коэффициент упругости, а m0 - можно рассматривать как "массу" объекта нулевого порядка воспринимающего силу F, т.е. меру инерционности кинедина нулевого порядка. Чем больше "масса" m0, тем меньшее смещение создает сила.

Особенность этой модели в том, что сжатие или растяжение пружины при изменении силы происходит мгновенно. Во многих задачах такое упрощение может быть признано допустимым. Главное в этой модели – отразить пропорциональность смещения силе, остальные особенности пока считаются второстепенными.

Упругий кинедин

Рис. 2.2 (анимация, 4 кадра). Пружина – упругий кинедин нулевого порядка: действие на пружину силы приводит к ее сжатию, пропорциональному величине силы. Мгновенно возникшая сила мгновенно сжимает пружину, а при снятии силы пружина мгновенно распрямляется

1. Импульс

Определим импульс аналогично тому, как это принято в механике Галилея – Ньютона. В механике инерционности нулевого порядка импульс будет иметь вид:


(2.12)

,

В соответствии с (2.12) если постоянная сила F действует на пружину в течение времени t, то передает ей импульс

(2.13)

Δp0 =s· t ,

Из (2.13) следует закон сохранения импульса нулевого порядка: если сила отсутствует, смещение равно нулю.

Физический смысл такого импульса непривычен: импульс пропорционален и величине сжатия пружины, и времени ее нахождения в сжатом состоянии. Тем не менее, он характеризует действие силы на объект. Импульс большой силы, действовавшей короткое время и малой силы, действовавшей дольше, могут быть одинаковы.

При снятии силы пружина возвращается в исходное положение. Это и есть закон сохранения импульса кинедина нулевого порядка.

Тело в упругой среде в линейном приближении мгновенно откликается смещением на воздействие силы, "не помнит" того, какие воздействия к нему прикладывались ранее, и в отсутствие воздействий находится в исходном состоянии. Результат известен и очевиден. Много ли пользы от такого определения импульса? Для механики упругих сред непосредственно может быть и нет, но для понимания свойств линейных систем это может оказаться полезным (см. ниже).

2. Работа

Это мера определяет действие силы на упругий кинедин в пространстве:


(2.14)

,

Как видно, работа нулевого порядка показывает, как сильно была сжата пружина, поскольку она пропорциональна квадрату перемещения. Это, как известно, потенциальная энергия, запасенная сжатой пружиной.

3.Действие

По аналогии с (1.8) определим действие силы как интеграл по времени и сжатию пружины:


(2.15)

,

Как видно, действие характеризует как величину сжатия s, так и время t, в течение которого пружина находилась в сжатом состоянии, и имеет размерность энергии (2.14), запасенной сжатой пружиной, умноженной на время нахождения пружины в сжатом состоянии.

4.Мощность

Это работа, совершаемая силой в единицу времени:


(2.16)

,

Сжатие происходит мгновенно, когда сила возрастает скачком, поэтому в таких случаях мощность получается бесконечной, а следовательно, не имеет физического смысла. Но сила может возрастать и плавно.

Кинедин нулевого порядка может рассматриваться как безинерционный преобразователь силы в перемещение и перемещения в силу.

К содержанию

2.3. Тела в вязкой среде
Механика первого порядка инерционности

В линейном приближении в вязкой среде сила (или ее приращение), приложенная к объекту, приводит к его равномерному движению, скорость v (или приращение скорости) которого пропорциональна приложенной силе (приращению силы) F:


(2.17)

,

Как видно, объект соответствующий (2.17) является кинедином первого порядка – "вязким" кинедином.

Смысл массы m1 первого порядка: чем больше вязкость среды и чем больше габариты тела, тем меньшую скорость придаст ему некоторая сила F.

Отметим, что идеализация (2.17) предполагает пренебрежение поведением объекта в течение короткого интервала времени, следующего за приложением или изменением силы, которое приводит к более сложному поведению объекта, т.н. переходному процессу. Это утверждение справедливо и по отношению к кинединам других степеней.

Кораблик: сила - причина, скорость - следствие

Рис. 2.3. В линейной модели в вязкой среде сила, действующая на объект, приводит к его равномерному движению. Приращение силы приводит к пропорциональному приращению скорости. Кораблик по отношению к приращениям силы и скорости - кинедин первого порядка

Обратим внимание на то, что, начиная с механики первого порядка и выше, сила приводит не к движению в его самом узком смысле, т.е. перемещению в пространстве, а лишь к появлению кинематической предпосылки этого движения, в данном случае к появлению скорости у объекта. В этом контексте здесь сила может рассматриваться как "намерение" объекта двигаться, которое тот реализует, в силу своих свойств, т.е. способности накапливать действие силы, преобразуя его в перемещение в пространстве.

1. Импульс

Импульс первого порядка пропорционален пути, пройденному телом под действием силы:


(2.18)

,

Закон сохранения импульса в инерционной среде первого порядка: в отсутствие силы (F=0) импульс p1 = const и тело покоится там, куда оно было передвинуто ранее другой силой.

2. Работа


(2.19)

,

В механике первого порядка работа, совершенная силой по перемещению объекта в одномерной модели, пропорциональна первой производной по времени от половины квадрата перемещения, в то время как, например, в механике второго порядка работа пропорциональна второй производной, а первой производной пропорционально действие.

3. Действие


(2.20)

,

Как видно из (2.20) действие в инерционной среде первого порядка не зависит от времени перемещения объекта.

4. Мощность

В механике первого порядка


(2.21)

,

Кинедин первого порядка как математическая модель может рассматриваться как безинерционный преобразователь силы в скорость.

К содержанию

2.4. Инерционная механика третьего порядка

Рассмотренные выше примеры описания классических разделов физики на основе математического аппарата, применяемого в механике Галилея - Ньютона, позволяет двинуться далее: попробовать построить механику третьего порядка инерционности. В этой механике сила должна вызывать третью производную положения тела по времени. В линейной одномерной модели между этими величинами зависимость пропорциональная:


(2.22)

,

здесь m3 – «масса» третьей степени, величина, которая может характеризовать восприимчивость объекта, описываемого формулой (2.22), если он существует, к воздействию силы, т.е. его инерционность.

Возникает вопрос: а существуют ли такие объекты в природе? Или они не существуют, а модель (2.22) лишь игра ума и строится только в угоду необоснованному желанию любой ценой обобщить механику Галилея - Ньютона за пределы ее области применимости или даже за пределы реальных свойств окружающего нас мира? На самом деле многие объекты обладают такими свойствами, правда, может быть короткое время и в ограниченном пространстве.

Сконструируем такой объект из объектов нулевого, первого и второго порядка инерционности. Идея такой конструкции состоит в том, чтобы последовательно соединить несколько кинединов разного порядка инерционности легкими пружинами (кинединами нулевого порядка), так, чтобы последующие элементы, отстоящие в этой цепочке дальше от места приложения силы, практически не сказывались на поведении предыдущих в течение некоторого, пусть малого, времени. На самом деле, любая система связанных механических элементов при достаточно малых воздействиях и малой продолжительности наблюдения в выбранное должным образом время отвечает этим условиям.

Пусть, как показано на рис.2.4, тело относительно большой массы М2 присоединено с помощью легкой слабой пружины к относительно легким штоку с поршнем, помещенным в цилиндр с вязким маслом.

Кинедин третьего порядка. Статический рисунок

Рис.2.4. Модель кинедина третьего порядка

Тогда, по второму закону Ньютона:


(2.23)

,

где:
F - сила, приложенная к телу М2 ;
F0 - противодействие пружины, причем F0 << F.

Учитывая последнее, приближенно (2.23) можно представить в виде:


(2.24)

,

Отметим, что в заданных условиях смещение поршня s мало по сравнению со смещением s1 тела М2. Сила сжатия пружины F0 пропорциональна разности расстояний (s1 – s), пройденных телом М2 и штоком, и практически не зависит от смещения s поршня ввиду относительной малости этого смещения по сравнению с s1:


(2.25)

,

Сила F0 действует на поршень, заставляя его, ввиду вязкости масла в цилиндре, двигаться со скоростью, пропорциональной величине F0:


(2.26)

,

Подставив (2.25) в (2.26), выразив s1 и подставив в (2.24), получим:


(2.27)

,

Что и требовалось. Как видно, сила, действующая на объект, приводит к появлению третьей производной по времени от некоторой величины s – перемещения штока и поршня, его характеризующей. Масса третьего порядка m3 определяется композицией «масс» младших порядков: массы тела, упругости пружины и коэффициента вязкого сопротивления.

Кинедин третьего порядка. 3D-анимация

Рис. 2.5 (анимация, 21 кадр). Модель кинедина третьего порядка. Зависимость ускорения, скорости и проходимого пути штока с диском в вязкой среде при наличии и отсутствии силы, приложенной к массивному телу, соединенному со штоком легкой, относительно слабой пружиной

На рис. 2.5 приведена механическая модель кинедина третьего порядка, составленная из массивного и упругого элементов, а также из элемента с вязким линейным трением. Если мысленно заключить эти элементы в черный ящик, оставив только точку приложения силы и индекс, показывающий положение диска, то внешне это будет восприниматься как кинедин третьего порядка.

Как видно на рис. 2.5, сила, воздействующая на массивное тело, приводит к его равноускоренному движению, поскольку пружина, препятствующая его движению очень слаба. Пружина упирается в шток, на конце которого расположен диск, движению которого оказывает сопротивление воздух. Сжатие пружины практически равно пути, проходимому телом. Пружина преобразует этот путь в силу, которая прикладывается к штоку, вызывая движение штока и связанного с ним диска, скорость которого пропорциональна силе давления пружины на шток. В итоге, диск со штоком двигается так, что третья производная его положения по времени пропорциональна приложенной к массивному телу силе, в частности, при наличии постоянной силы ускорение растет линейно с течением времени, а в отсутствие силы ускорение штока постоянно – это закон сохранения импульса силы для инерционной среды третьего порядка.

Примечание. Сопротивление воздуха движущемуся диску на самом деле пропорционально квадрату скорости диска. В модели рис. 2.5 условно принято, что это сопротивление пропорционально скорости диска, для упрощения 3D - изображения модели и повышения наглядности виртуального стенда. Если говорить о малых приращениях силы и скорости, то между ними существует линейная зависимость.

Т.о., в рассматриваемой среде инерционности третьего порядка инерционность тела (объекта) проявляется в том, что в отсутствие внешнего воздействия на него, оно может двигаться равноускоренно, и как частный случай такого движения, равномерно или покоиться на месте. Это аналог первого закона Ньютона, справедливого в среде инерционности второго порядка, т.е. в пространстве массивных тел.

На рис. 2.5, можно увидеть, что при наличии силы ускорение возрастает не линейно, а чуть-чуть медленнее, да и в отсутствие силы оно не постоянно, а слегка падает. Кроме того, выходная величина такого кинедина ограничена в пространстве размерами цилиндра. При знакопеременной силе, величина которой плавно изменяется, время адекватности модели кинедину третьего порядка может быть большим. Т.о. построенная модель лишь приближенно соответствует канедину третьей степени. Но главное здесь это то, что такие объекты могут существовать в природе, а значит, могут и должны быть описаны и исследованы.

Отметим, что автолюбитель может узнать в объектах рис.2.4, рис. 2.5 амортизатор автомобиля. Поскольку автомобилей в мире насчитывается несколько сот миллионов, то это и говорит о значимости для практики такой модели.

Другое приложение, близкое к научно-фантастическому, состоит в том, что возможно, в будущем люди окажутся в такой части Вселенной, где тела в отсутствие силы двигаются равноускоренно. И для описания такого их поведения придется либо вводить искусственные силы, чтобы остаться в рамках механики Галилея – Ньютона, либо использовать модель с инерционностью среды и тел третьего порядка.

Нетрудно видеть, что объединение двух кинединов первого порядка упругим кинедином позволяет моделировать кинедин второго порядка, т.е. соединив два "вязких" тела пружиной можно получить реакцию на силу, пропорциональную второй производной положения тела по времени.

К содержанию

2.5. Механика n-го порядка инерционности

Для кинедина n-го порядка сила является причиной появления n-ой производной по времени координаты тела:


(2.28)

,

1. Импульс

Первоначально покоившийся кинедин n-го порядка приобретает под действием силы импульс:


(2.29)

,

Как видно, в отсутствие внешних сил, действующих на тело n-го порядка инерционности, оно движется, как это не удивительно, ускоряясь, так, что n-1 производная остается постоянной:


(2.30)

,

При соударении тел справедлив третий закон Ньютона, следовательно, при соударениях сохраняется и сумма импульсов (2.29).

2. Работа


(2.31)

,

Энергия Еn, результат действия силы, накапливается и в отсутствие взаимодействия с внешним миром сохраняется телом. Отметим, что как видно из (2.29) и (2.31) последовательное во времени действие двух сил приводит к сложению переданных ими телу импульсов и энергий.

3. Мощность


(2.32)

,

4. Действие


(2.33)

,

Итак, в простых условиях, когда на неподвижное тело n-го порядка инерционности начинает действовать сила, эффективность действия силы характеризуется относительной величиной - массой mn n-го порядка, и операторами дифференцирования всего двух величин: пройденного пути s (2.29) и половины его квадрата s2/2 (2.31) – (2.33).

Степень оператора дифференцирования характеризует (отражает) степень инерционности объекта, его способность определенным образом реагировать на внешние воздействия. Поэтому, определяя степень этих операторов для модели реального объекта, можно узнавать об инерционных свойствах объекта. При этом не следует забывать, что оператор дифференцирования воздействует на координату тела и обусловлен внешним воздействием на тело, иначе произойдет подмена физики математикой. Например, рассуждая абстрактно, какой-то оператор можно формально (и бездумно) применить и к другой характеристике объекта, например, к цвету тела, но в данном случае нас интересует именно движение тела под действием силы, а не что-то другое.

Выводы

К содержанию

3. Элементарные прогнозирующие объекты

До сих пор обобщение шло путем увеличения степени производной координаты объекта по времени, к появлению которой приводило воздействие силы. Формально, можно попробовать распространить модели и на отрицательные значения: смещение пропорционально производной по времени от воздействия. Тогда производная появится в правой части:


(3.1)

,

Прогнодин можно рассматривать как кинедин отрицательного порядка.

Вопрос состоит в том, существуют ли подобные объекты и, если существуют, то каковы их свойства?

Основание сомневаться в существовании таких объектов состоит в том, что производная силы, например, скорость ее изменения, не есть сила. А причиной движения по определению является именно сила. В некоторые моменты времени сила может быть равна нулю, а ее производная может быть не нулевой. Получается, что нарушается принцип причинности: силы нет, а ее следствие – смещение, уже существует, поскольку оно вызвано в соответствии с (3.1) производной силы по времени. Получается, что объект (3.1) предвосхищает появление причины, например силы, нарушая на первый взгляд принцип причинности, а значит, такой объект не может существовать. Однако не будем торопиться с выводами.

Приведем примеры.

Пример 1. Электрический конденсатор

Если в качестве воздействия рассматривать напряжение u, приложенное к конденсатору, то ток i пропорционален скорости изменения напряжения:


(3.2)

,

Отметим, что знание скорости изменения причины, в данном случае напряжения, позволяет предсказать, точнее предвычислить, значение этой причины на некоторый, пусть небольшой промежуток времени Δt вперед:


(3.3)

,

Т.о., электрический конденсатор обладает свойствами прогнозирования значений подаваемого на него напряжения. Отметим, что это не кинематическое прогнозирование, а динамическое. Конденсатор не вычисляет производную напряжения по времени путем измерения величин напряжений и деления приращений напряжения на приращение времени (кинематическое прогнозирование). Его внутренние динамические свойства таковы, что он реагирует на скорость изменения воздействия, он так «живет».

Чтобы воспользоваться прогнодином (3.3), необходимо измерить величину тока. Для этого нужно пропустить его через амперметр того или иного вида, имеющий малое, но ненулевое сопротивление и, следовательно, влияющий на свойства конденсатора. Тем не менее, при малых сопротивлениях амперметра (3.2) приближенно выполняется.

Пример 2. Демпфер с пружинами

Смещение s штока поршня примерно пропорционально производной по времени от силы F, приложенной к пружине, упирающейся в цилиндр с вязким маслом:

Прогнодин - демпфер с пружинами

Рис.3.1. Появление постоянной силы F быстро перемещает цилиндр вместе с поршнем на величину s1, пружина 2, распрямляясь, возвращает поршень в исходное состояние, преодолевая вязкое сопротивление и двигая его внутри цилиндра. Массы пружин, цилиндра с маслом и штока малы. Смещение s1 штока примерно пропорционально производной по времени от величины силы F. Точность модели увеличивается, если сила знакопеременная, меняется в небольших пределах и не очень быстро. Левая пружина преобразует силу в смещение, поступающее как воздействие на цилиндр

Модель прогнодина. 3D-анимация

Рис. 3. 2 (анимация, 17 кадров). Модель прогнодина первого порядка. Изменение силы по квадратичному закону во времени приводит к линейному смещению цилиндра, а изменение силы по линейному закону, которое начинается в момент 0.5 сек., оставляет смещение постоянным. Т.о., смещение цилиндра пропорционально производной по времени от силы

Итак, объекты вида (3.1) существуют, хотя бы в некотором приближении и, может быть, короткое время.

А как быть с принципом причинности? Силы еще нет, т.е. нет причины движения, есть только производная силы, т.е. показатель ее появления или, если угодно, намерение силы появиться, а объект уже реагирует смещением. Не нарушается ли причинно-следственная связь? С другой стороны, модель, показанная на рис. 3.3 ведь работает! Дело в том, что реальные системы обладают некоторой, пусть малой, инерцией. И когда ей можно пренебречь, например, при медленном изменении силы, в т.н. установившемся режиме, выходная величина действительно с некоторой, вполне удовлетворительной точностью, может быть пропорциональна производной от воздействия. После приложения силы прогнодин вначале «втягивается» в движение, а затем, втянувшись, работает в соответствии с (3.1), успевая отслеживать производную силы.

Попробуем, как и ранее, дать оценку действия силы на объект путем формального применения классических выражений.

1. Импульс

Для получения импульса следует проинтегрировать силу за время ее действия:


(3.4)

,

Физический смысл этого несуразного выражения темен, и вряд ли необходимо его разыскивать или придавать ему какой-то искусственный. Можно было бы использовать (3.4) для каких-то экзотических приложений, например для описания несуществующих паранормальных явлений - движение в отсутствие сил, при наличии только их производных, но мы здесь занимаемся серьезными вопросами. Наверно, здесь, введенная ранее для кинединов трактовка понятия импульса, выходит за границы своей применимости, поскольку силы как таковой в выражении (3.1) нет.

Тем не менее, полезно определить, какую смысловую нагрузку может нести выражение (3.1):


(3.1)

,

Во-первых, прогнодин мгновенно реагирует на производную n-й степени силы по времени.

Как видно из (3.1), если n-я и более старшие производные воздействия равны нулю, а младшие производные не равны нулю, то прогнодин n-го порядка «не замечает» такого воздействия. А если какая-нибудь производная воздействия, степени большей чем n не равна нулю, то, следовательно, в общем случае не равна нулю и n-я производная. Т.о., прогнодин n- го порядка воспринимает только старшие производные, заглядывая тем самым вперед, в смысле ряда Тейлора, дальше некоторого предела, определяемого степенью прогнодина и его отрицательной «массой» m-n.

В теории автоматического управления и смежных дисциплинах (радиотехнике, электронике и др.) хорошо известен и часто применяется прием создания приближенной модели требуемого звена путем включения в обратную связь его инверсии. Этот прием применим и к рассматриваемым элементам:

Схема замещения прогнодина

Рис. 3.3. Схема замещения прогнодина с помощью кинедина

Рассмотрим в качестве примера такую модель прогнодина первого порядка:

Схема замещения прогнодина первого порядка

Рис. 3.4. Схема замещения прогнодина первого порядка. Роль инерционной «массы» m1 первого порядка играет постоянная времени интегратора

Как видно на рис. 3.4, операция дифференцирования, свойственная прогнодину, приближенно осуществляется накоплением в обратной связи выходного сигнала и вычитанием накопленного из входного сигнала. В установившемся режиме [8] выходной сигнал такой схемы пропорционален производной от входного сигнала. Эта схема демонстрирует, каким образом реальные объекты осуществляют прогнозирование. Для этого используется накопление сигнала, т.е. инерция, а вычитание инерционного восприятия звеном обратной связи выходного сигнала из входного воздействия и дает значение производной. Схема корректно работает до появления причин, приводящих к переходному процессу, а по его окончании она вновь состоятельна.

Область состоятельности схемы замещения прогнодина

Рис. 3.5. По завершении к концу второй секунды переходного процесса, выходные сигналы схемы замещения прогнодина первого порядка пропорциональны производной от входного сигнала. Ошибка тем больше, чем быстрее нарастает входной сигнал: для постоянного и линейно растущего воздействия она равна нулю, а для квадратично растущего сигнала постоянна и составляет в данном случае единицу

Таким образом, рассмотренная модель прогнодина основывается на использовании инерции: в установившемся режиме инерционной элемент (кинедин) не успевает отслеживать быстрые изменения выходной величины и чем быстрее она меняется, тем больше отставание и оно, пусть с ошибкой, пропорционально скорости изменения входной величины. Это напоминает эффективный способ предсказания погоды в тех регионах, где она меняется редко: прогнозировать на завтра такую погоду, которая была сегодня, а редкие ошибки, связанные с изменением погоды относить на непредвидимый «переходный процесс».

Выводы

Итак, если состояние кинедина свойственной ему инерционностью отражает историю действовавших на него воздействий, то прогнодины заглядывают вперед, прогнозируя поведение и состояние воздействия в будущем. При правильной трактовке, во втором случае нарушения принципа причинности здесь не происходит: при ограниченном числе младших производных воздействия, не равных нулю и в отсутствие в них ступенчатых скачков, прогноз получается правильным, состоятельным. В противном случае, он может меняться с течением времени, после появлении ступенек в сигнале и его производных [7, 8] и окончании переходного процесса.

Прогнозирующие объекты вида (3.1) являются, как будет показано ниже, составными элементами многих сложных объектов, как природного происхождения, так и сделанных руками человека.

4. Дифференциальное уравнение, кинедины и прогнодины

         Получив изложенные выше и другие результаты, я оказался под большим впечатлением того, что как оказалось, механик может быть множество и вызывающая почтение механика Галилея – Ньютона только одна из них, хотя она и имеет большое значение. Дальнейшие направления исследований напрашивались сами собой: подробное изучение каждой отдельной механики, и композиция кинединов и прогнодинов различных степеней, изучение их возможного взаимодействия, а также поиск реальных объектов, соответствующих таким композициям.
         Каково же было мое разочарование, когда, осуществив эту композицию, я получил давно и хорошо известный результат: линейное дифференциальное уравнение! Уравнение, которое известно всем студентам технического профиля и инженерам, явно или косвенно в повседневной жизни решающим дифференциальные уравнения или пользующимся результатами их решения. Тем не менее, проведенное рассмотрение не следует считать напрасным: новый ракурс дает и новые представления об устройстве мира, позволяет его более глубоко понять и понять смысл применяемых исследователями математических аппаратов и моделей.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение, которым описываются реальные объекты очень широкого класса:




(4.1)

,

Смысл частей дифференциального уравнения следующий. Как видно, в правой части расположена взвешенная сумма воздействия x(t) на линейный объект или систему, описываемую уравнением (4.1), и его производных. Легко видеть, что это сумма прогнодинов. В левой части расположена взвешенная сумма отклика и его производных. Каждый член суммы – кинедин. Символ равенства отражает некоторое обобщение третьего закона Ньютона: сумма воздействий на объект равна сумме его реакций.

Для однозначного решения дифференциального уравнения, т.е. нахождения зависимости отклика y(t) от времени, должны быть заданы начальные условия (НУ) – значения отклика (реакции системы на воздействие) и его n-1 младших производных в некоторый, например условный нулевой момент времени.

У реальных или реализуемых объектов степень старшей производной в левой части больше степени старшей производной справа. Если это не выполняется, то нарушается принцип причинности: выходной сигнал может появиться до того, как на вход поступит входной. Это означает, что в физически реализуемых объектах инерционность, связанная с кинединами по крайней мере компенсирует «взгляд вперед» прогнодинов.

Как видно в (4.1), описание объекта линейным дифференциальным уравнением состоит в том, что объект представляется суммой кинединов, которые распределяют между собой совокупное воздействие, создаваемое прогнодинами. Сумма прогнодинов в правой части дифференциального уравнения отражает то, как и каким образом распределено, и насколько значительно в соответствии с весовыми коэффициентами (коэффициентами прогнодинов различных степеней) приложено внешнее воздействие к системе.

Прогнодины формируют эквивалентное входное воздействие

Рис. 4.1. Схема формирования эквивалентного (совокупного) воздействия (правой части дифференциального уравнения). Оно создается суммированием выходных сигналов прогнодинов

Смысл коэффициентов левой части дифференциального уравнения состоит в том, что их величина указывает, какую роль (вес) кинедин той или иной степени инерционности выполняет в структуре всего объекта.

Отметим, что сумма кинединов в левой части уравнения (4.1) не только приводит к заурядному сложению свойств отдельных кинединов, это сложение качественно расширяет набор свойств составляемого ими объекта. Это следует из того, что, как известно, дифференциальное уравнение (4.1) имеет две компоненты решения – принужденную и свободную, связанную с перетеканием энергии внутри системы. Т.о. кинедины, объединенные в систему, могут обмениваться энергией. Дифференциальное уравнение позволяет это кинединам, оно требует только, чтобы в любой момент времени сумма их откликов была равна эквивалентному воздействию в тот же момент времени, определяемому правой частью уравнения.

Конкретный объект представляется дифференциальным уравнением набором кинединов и прогнодинов, а его индивидуальные свойства определяются набором инерционных «масс» и коэффициентов прогнодинов.

Как известно, коэффициенты левой части дифференциального уравнения, «массы» кинединов различных степеней, определяют характеристический полином системы или объекта. А корни этого полинома определяют в свою очередь, является ли система устойчивой. Т.о., удачная с точки зрения ТАУ комбинация кинединов и прогнодинов приводит к устойчивой системе, а неудачная – к неустойчивой.

Теперь становится понятным, почему набор упругих, вязких и инерционных элементов, объединенных в рассмотренных ранее примерах и показанных на рисунках, проявляет свойства кинедина. Например, при нулевых начальных условиях младшие производные в начальный момент времени равны нулю. Появление воздействия x(t) в первую очередь приводит к появлению старшей производной отклика y(n)(t) и пока младшие производные ввиду относительной малости их весовых коэффициентов (инерционных «масс») остаются сравнительно малыми, объект ведет себя как кинедин n-й степени.

Решение линейного дифференциального уравнения часто находят с использованием передаточных функций. Если разложить передаточную функцию системы в ряд, ограничиться младшими членами и, осуществив обратное преобразование Лапласа, найти решение, то оно примет вид [8]:


(4.2)

,

Как показано в [8], выражение (4.2) хорошо моделирует линейный объект в установившемся режиме работы, т.е. в отсутствие в воздействии и его младших производных резких ступенчатых, а тем более, импульсных, изменений, являющихся причинами возникновения переходного процесса. Нетрудно видеть, что правая часть (4.2) представляет собой сумму прогнодинов.

Обратим внимание на то, что решение (4.2), хотя и является приближенным в силу проявления инерционных свойств описываемого объекта при быстрых изменениях воздействия, но оно справедливо при указанных выше обстоятельствах для всей временной оси. Следовательно, в установившемся режиме работы физический или технический объект проявляет себя как совокупность прогнодинов.

Подчеркнем важный момент, связанный с трактовкой (4.2). Формула эта привычна и выглядит как ряд Тейлора, предполагающий, что объект, моделируемый как (4.2), вычисляет производные воздействия, осуществляет суммирование с весами, и тем самым получает свой выходной сигнал. Но в данном случае это не так. Действительно, для вычисления производной нужно формально измерять воздействие в текущий момент времени, измерять его через малый промежуток времени и вычислять отношение. Измерения и вычисления неотделимы от сопровождающих их ошибок. Но физический объект ничего не измеряет и не вычисляет! Он просто живет своей жизнью, откликаясь на прикладываемые к нему воздействия. Естественным образом, как фазовые переменные, т.е. физические величины, в нем появляются и изменяются эти самые производные.

Таким образом, и дифференциальные уравнения, и их решения, а значит и моделируемые ими объекты, могут быть описаны с использованием понятий кинедин и прогнодин.

Вывод

Дифференциальные уравнения существуют объективно и могут быть решены вне зависимости, понимаем мы или нет физический смысл самого уравнения и его решения. Возможно, при решении утилитарной задачи инженеру и не обязательно понимать этот физический смысл – многие из тех, кто пользуется часами, не знают, как они работают. Но если дифференциальное уравнение в той или иной форме, например, как передаточная функция, является инструментом исследователя, важно знать его возможности и свойства. Кинедины и прогнодины могут в этом помочь, и в этом может заключаться польза от них.

К содержанию

Заключение

Перенос понятий и математического аппарата описания динамики массивных объектов в смежные области физики оказывается в ряде случаев состоятельным: понятия приобретают новый и содержательный смысл. Кроме того, такое рассмотрение позволяет лучше понять и место механики Галилея - Ньютона в общем здании физики, ее связь и взаимодействие с другими разделами науки и техники. Механика массивных тел Галилея – Ньютона является лишь одной из множества других, занимая среди них почетное место потому, что описывает, в частности, космические явления – движение планет и звезд.

На рассмотренном примере можно продемонстрировать аспирантам, студентам и даже школьникам, что физические объекты, даже классические, могут быть математически описаны разными способами. Другое дело, что описание должно быть полезным и удобным для решения конкретных практических задач, а также позволять лучше понять устройство окружающего нас мира.

Как видно из проведенного рассмотрения, вопрос о том, существуют ли в природе идеальные прогнодины и кинедины повисает в воздухе, как и исходный вопрос о том, почему в механике Галилея – Ньютона сила приводит к ускорению, что впрочем не мешает использовать эти модели, как и многие другие математические идеализации, например дельта-функцию Дирака, для описания и исследования реальных объектов и явлений.

Проведенное рассмотрение не является всеобъемлющим и оставляет заинтересовавшемуся этим вопросом читателю возможность самостоятельно его углубить.

В последующих статьях введенные понятия – кинедин и прогнодин предполагается использовать для пояснения физической сущности и состоятельности дифференциальных уравнений, как аппарата описания физических динамических объектов и систем, и обсуждения свойств линейных систем.

К содержанию

Литература

  1. Г. Кирхгоф. Механика. Лекции по математической физике. Перевод с четвертого немецкого издания под ред. Григорьяна А.Т. и Полака Л.С. – М. : Изд. АН СССР, 1962, 402 с.
  2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. Из серии Теоретическая физика. Изд. 2. –М.: Наука, 1965 г., 204с.
  3. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Т. 6. Электродинамика. Глава 19. Принцип наименьшего действия. – М., : Мир, 1966, с.94 -119.
  4. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Т. 1. Современная наука о природе. Законы механики. – М., : Мир, 1965, с.94 -119.
  5. Курош А.Г. Общая алгебра. Лекции 1969 -1970 учебного года. – М., : Наука, 1974, 160 с.
  6. Model Vision Studium (MVS) – компьютерная лаборатория для моделирования и исследования сложных динамических систем http://www.exponenta.ru/soft/others/mvs/mvs.asp
  7. Федосов Б.Т. Прогнозирование, анализ, синтез и моделирование сигналов управления.
    http://model.exponenta.ru/bt/bt_0005.html 2003 г.
  8. Переходный и установившийся режимы системы автоматического управления. Причины возникновения, описание, сходства и различия.
    http://model.exponenta.ru/bt/bt_0003.html 2003 г.

От автора.

Я спорадически обращался к рассматриваемому вопросу на протяжении 25 лет, но и сейчас не вполне уверен, что это следовало опубликовать: не будет ли это воспринято узкими специалистами как досужие размышления графомана-любителя или как информационный шум. Классические разделы науки потому так и называются, что их восприятие и изложение отточено и отшлифовано десятилетиями и столетиями. И поэтому они заслуживают бережного отношения. Тем не менее, мне кажется, что проведенное рассмотрение полезно с методической, а м.б. и с методологической, точек зрения.

Хочу выразить благодарность своему бывшему однокласснику д.ф-м.н., профессору Технологического Института Нью-Джерси (США) Красноперову Л.Н. за моральную поддержку решения о публикации этого материала.

15.06.2005