Федосов Б.Т.
Рудный, Казахстан
Решение уравнений и построение графиков
Приложение к статье "О методах описания линейных систем"
http://model.exponenta.ru/bt/bt_001124.html
Содержание
1. Численное решение дифференциального уравнения
1.1 Воздействие синусоиды на колебательное звено
1.2. Определение свободной и принужденной составляющих решения
1.3. Фазовый портрет колебательного звена
2. Вычисление реакции апериодического звена с помощью интеграла свертки
3. Спектральный метод
3.1. Аппроксимация бесконечной последовательности прямоугольных
импульсов суммой синусоид
3.2. Спектр бесконечной последовательности прямоугольных
импульсов
4. Операторный метод
4.1. Воздействие синусоиды и косисинусоиды, смещенных по фазе, на
колебательное звено. Нулевые начальные условия
4.2. Воздействие синусоиды на апериодическое звено. Не нулевое начальное
условие
Примечание 1.
Если на Вашем компьютере установлена 12-я версия Маткада или более поздняя, то согласившись при открытии htm-файла на подключение активного содержимого (элементов ActiveX) и выбрав в меню Интернет Эксплорера Файл - Править в Mathcad Application, Вы сразу перейдете в документ предварительно запущенного Маткада 12, в котором можно исследовать решение в интерактивном режиме
Примечание 2.
Если шрифт в документе Маткада отображается не правильно, выбрать в меню Format - Equation, в выпадающем меню поочередно выбрать Variables, Constants, Math Text Font и задать шрифт MS Sans Sherif (кириллица). Кроме того, следует выбрать в меню Format - Style и так же задать для стилей шрифт MS Sans Sherif (кириллица). Наконец, для того, чтобы и литеральные индексы переменных отображались по-русски, щелкните на свободном месте, введите переменную на кириллице и присвойте ей какое-нибудь значение, например:
1. Численное решение дифференциального уравнения

1.1. Воздействие синусоиды на колебательное звено
(1.1)
Воздействие начинается в нуле:
Ф(t) - ступенчатая единичная функция Маткада
Начало решающего блока
(1.2)
Уравнение
(1.3)
Начальные условия нулевые
(1.4)
Решение
Конец решающего блока
Решение в Vissim'е
Осциллограмма
Решение дифференциального уравнения содержит переходный процесс.
Как видно, решения в Маткаде 12 и Vissim'е идентичны. Отметим, что, как это не удивительно, в Маткаде 10 решение получается не верным
1.2. Определение свободной и принужденной составляющих решения
Определим принужденную составляющую с помощью комплексного коэффициента передачи. Из дифференциального уравнения (1.2) следует что комплексный коэффициент передачи равен:
Комплексный коэффициент передачи колебательного звена
(1.5)
Комплексная амплитуда выходного сигнала
Начальная фаза выходного сигнала
Принужденная составляющая решения дифференциального уравнения
(1.6)
Свободная составляющая
(1.7)
Как видно, и решение, и его производная в нуле равны нулю, что и соответствует заданным нулевым начальным условиям
На рисунках видно, и свободная и принужденная составляющие испытывают скачок в нулевой момент времени, поэтому их сумма - решение дифференциального уравнения, не имеет скачка (начальные условия нулевые).
1.3. Фазовый портрет
Поскольку решение y(t) уравнения (1.3) найдено, то не трудно построить фазовый портрет системы
2. Вычисление реакции апериодического
звена с помощью интеграла свертки
Единичная ступенчатая
функция
Входной сигнал
Коэффициент усиления, постоянная времени
и
весовая функция
апериодического звена
Решение - интеграл свертки
3. Спектральный метод
3.1. Аппроксимация бесконечной последовательности прямоугольных импульсов суммой синусоид
Амплитуда , период и длительность импульсов
Скважность и частота импульсов
Число членов ряда Фурье
Ряд Фурье бесконечной симметричной последовательности импульсов
Замените число членов ряда с n = 10 на n = 100, а затем на n = 1000. Убедитесь, что импульсы приближаются к идеальным прямоугольным.
При создании анимации замените этим выражением число членов ряда Фурье
3.2. Спектр бесконечной последовательности прямоугольных импульсов
Число дискрет спектра 11
Величина дискреты (амплитуда синусоиды)



Значения параметров импульсной последолвательности заданы выше
Амплитуды четных гармоник, за исключением нулевой, равны нулю.
Примечание. Для сложных сигналов амплитудный и фазовый спектры приходится показывать отдельно, но в данном случае начальные фазы кратны 180 градусам и это обстоятельство позволяет учесть начальные фазы знаком дискреты.
4. Операторный метод
4.1. Воздействие синусоиды и косисинусоиды, смещенных по фазе, на колебательное звено
Передаточная функция колебательного звена
- начальные условия
Изображение Лапласа определяется для сигнала, начинающегося в нулевой момент времени:
Начальная фаза, рад
Начальная фаза, градусы
Входные сигналы
Аналитическое (символьное) преобразование Лапласа для входных воздействий
Подставим
Поскольку начальные условия нулевые, то Xmod (s) = Xc(s).
Отклик звена определяется обратным преобразованием Лапласа Поскольку начальные условия нулевые, то можно пользоваться немодифицированным изображением входного сигнала
Реакции звена
Графики реакций колебательного звена на гармонические воздействия с разными начальными фазами и их производных
В нулевой момент времени воздействия изменяются скачком, но и реакции, и их производные, равны нулю, что и соответствует заданным нулевым начальным условиям. Виден переходный процесс.
4.2. Воздействие синусоиды на апериодическое звено
Передаточная функция и комплексный коэффициент передачи апериодического звена
- входной сигнал
- начальное условие
Изображение Лапласа определяется для сигнала, начинающегося в нулевой момент времени (время для символьных (аналитических) преобразований обозначено через time, поскольку обозначение t уже использовано выше):
Введите уравненение и начальные условия:
Преобразование Лапласа оперирует с сигналами, начинающимися в нулевой момент времени
Введите желательные параметры решения:
Ф(time) - ступенчатая единичная функция Маткада
Конец интервала решения
Число точек решения на [t0, t1]
Примечание: решение дифференциального уравнения приведено правее
Отклик звена определяется обратным преобразованием Лапласа Ненулевые начальное условие учитывается в воздействии: y0 = 1, k = 2, T = 0.2 ):
Модификация воздействия начальным условием
Здесь выполнение отключено
Выходной сигнал получается обратным преобразованием Лапласа его изображения, найденного как произведение модифицированного начальными условиями изображения входного сигнала и передаточной функции звена, коэффициент усиления которого учитывается в модифицированном изображении:
Подставим в ответ, учитывая, что отклик появляется только в положительные моменты времени
Нулевые начальные условия y0 = 0 (k = 2):
Подставим, учитывая, что отклик появляется только в положительные моменты времени
Спектр синусоиды, изменяющейся во времени от минус до плюс бесконечности, это - две дискреты.
Ниже
- дельта -функция Дирака на частоте 10 рад/сек
Отклик звена определяется обратным преобразованием Фурье от произведения спектра воздействия и комплексного коэффициента передачи
(переменная w уже использована ранее, поэтому для аналитического (символьного) преобразования введена локальнаяпеременная w1 ):
Подставим
Коричневая кривая (до t = 0 пунктирная, а затем сплошная) это воздействие на апериодическое звено. Решение Уфурье(t) (синяя линия), найденное с помощью комплексного коэффициента передачи не содержит переходного процесса, он закончился бесконечное время назад.
Решения Улапл(t) и Удифур(t) (красные сплошная и пунктирная, приподнятая для удобства сравнения на 0.1, линии) получены с помощью передаточной функции и дифференциального уравнения соответственно для синусоидального воздействия x(t) = sin(10t) (сплошная коричневая линия) и начального условия y(0) = y0 = 1. Решения совпадают и содержат переходный процесс.
Решение Улапл0(t) получено с помощью передаточной функции для нулевого начального условия y(0) = 0.
Как видно, по окончании переходного процесса, к концу первой секунды, все решения совпадают, т.е. дают принужденную составляющую решения дифференциального уравнения (установившийся режим).
Таким образом, передаточная функция и дифференциальное уравнение учитывают начальные условия внулевой момент времени, а комплексный коэффициент передачи не учитывает.
5. Сопоставление операторного и спектрального методов
5.1. Определение реакции апериодического звена на ступенчатое воздействие
Изображение и спектр единичной ступенчатой функции Ф(t):
Передаточная функция и комплексный коэффициент передачи апериодического звена:
Решение:
Изображение выходного сигнала
Подставим:
Выходной сигнал
Спектр выходного сигнала
Подставим:
Выходной сигнал
Выражения для выходного сигнала получаются Маткадом символьно (аналитически) и с помощью преобразования Лапласа, и с помощью преобразования Фурье. Они совпадают.
22.12. 2005